第1章 第3节 不等式及其性质（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第3节　不等式及其性质 1．理解用作差法比较两个实数大小的理论依据． 2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．(重点) [对应学生用书P8] 一、比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 作商比较时，一定要保证a，b同号，且分母不为0. 二、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 可乘方性 a>b>0⇒an>bn，n∈N，n≥2 同正 可开方性 a>b>0⇒>，n∈N，n≥2 同正 两个同向不等式可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3，但2×(－1)>(－1)×(－3)不成立． 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0，0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质：<，>(b－m>0)； ②假分数的性质：>，<(b－m>0). 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P42例2改编)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A.－＞0 B．－＜0 C.＞ D．＜ 答案：D 2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.ln a<ln b　 B．>　 C．a2<b2　 D．a3<b3 D　解析：对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，<，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．(人教A版必修第一册P43习题2.2T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________． 答案：<　解析：－＝＝， ∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，∴<0， ∴<. 二、易误易混澄清 1．(多选)(忽视字母符号)下列命题为真命题的是(　　) A.若a>b>0，则ac2>bc2 B.若a<b<0，则a2>ab>b2 C.若a>b>0且c<0，则> D.若a>b且>，则ab<0 BCD　解析：当c＝0时，不等式不成立，∴A中命题是假命题； ⇒a2>ab， ⇒ab>b2，∴a2>ab>b2，∴B中命题是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<<，∵c<0，∴>，∴C中命题是真命题；>⇒－>0⇒>0，∵a>b，∴b－a<0，则ab<0，∴D中命题是真命题． 2．(多次运用不等式性质扩大范围)已知1<a＋2b<2，－2<2a－b<1，则8a＋b的取值范围是(　　) A.(－5，) B．(－5，) C.(－4，7) D．(－4，) C　解析：因为8a＋b＝2(a＋2b)＋3(2a－b)，1<a＋2b<2，－2<2a－b<1，所以2<2(a＋2b)<4，－6<3(2a－b)<3，则－4<8a＋b<7. 3．(乘法运算忽视符号)已知实数a∈(－3，1)，b∈(，)，则的取值范围是(　　) A.(－12，8) B．(－24，8) C.(－24，4) D．(－12，4) B　解析：当－3<a≤0时，∈(－24，0]；当0<a<1时，∈(0，8).故∈(－24，8). 考点一　比较两数(式)的大小 [例1] (1)若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c (2)(2025·石嘴山模拟)设M＝ab－b2，N＝a2－ab，则M，N的大小关系是________． 答案：(1)B　(2)N≥M　解析：(1)方法一　构造函数f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝.令f′(x)>0，得0<x<e；令f′(x)<0，得x>e.∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c. 方法二　易知a，b，c都是正数．∵＝＝log8164<1，∴a>b， ∵＝＝log6251 024>1，∴b>c，∴c<b<a. (2)因为M＝ab－b2，N＝a2－ab，所以N－M＝(a2－ab)－(ab－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以N≥M. 比较两个数(式)大小的常用方法 作差法 作差；变形；定号；得出结论 作商法 作商；变形；判断商与1的大小关系；得出结论 构造函数 利用函数的单调性比较大小 训练1 (1)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为(　　) A.P>Q B．P≥Q C.P≤Q D．P<Q D　解析：依题意可知P>0，Q>0，a≥0，P2＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2，所以P2<Q2，所以P<Q. (2)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则(　　) A.aa<ab<ba B．aa<ba<ab C.ab<aa<ba D．ab<ba<aa C　解析：∵c是正实数，且c<1，∴0<c<1，由c<cb<ca<1，得0<a<b<1，∵＝aa－b>1，∴ab<aa，∵＝()a，0<<1，a>0，∴()a<1，即aa<ba.综上可知，ab<aa<ba. 考点二　利用不等式的性质比较大小 [例2] (1)(2025·济南模拟)若a>0>b，则(　　) A.a3>b3 B．|a|>|b| C.< D．ln (a－b)>0 (2)(2025·合肥模拟)已知a>b>c>d>0，且a＋d＝b＋c，则下列不等式中不成立的是(　　) A.a＋c>b＋d B．ac>bd C.ad<bc D．> (1)A　(2)D　解析：(1)∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则|a|>|b|不成立，<也不成立，故B，C错误；取a＝，b＝－，则ln (a－b)＝ln 1＝0，故D错误． (2)∵a>b>c>d>0，∴a＋c>b＋d，ac>bd，故A，B中不等式成立；∵a>b>c>d>0，∴a－d>b－c>0，∴(a－d)2>(b－c)2，即(a＋d)2－4ad>(b＋c)2－4bc，又a＋d＝b＋c，∴ad<bc，故C中不等式成立；∵a>b>c>d>0，ad<bc，∴<，故D中不等式不成立． 判断不等式成立常用的3种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断． 训练2 (1)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则(　　) A.< B．＋>0 C.a2>b2 D．a<|b| C　解析：因为ab<0，a>b，所以a>0，b<0，>0，<0，故A错误；<0，<0，则＋<0，故B错误；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，故C正确；由a>－b>0得a>|b|，故D错误． (2)(多选)(2025·邵阳模拟)已知0<a<b<1，则下列不等式中成立的是(　　) A.()a<()b B．ln a<ln b C.a3<b3 D．sin a>sin b BC　解析：对于A，因为y＝()x在R上为减函数，且0<a<b<1，所以()a>()b，所以A错误；对于B，因为y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，0<a<b<1，所以ln a<ln b，所以B正确；对于C，因为0<a<b<1，所以由不等式的性质可得a3<b3，所以C正确；对于D，因为0<a<b<1<，且函数y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin a<sin b，所以D错误． 考点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 [例3] (1)(多选)已知3<a<6，1<b<5，则(　　) A.∈(，3) B．∈(，6) C.a－2b∈(－4，1) D．a－2b∈(－7，4) (2)设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤≤4，则的最大值是________． 答案：(1)BD　(2)32　解析：(1)∵1<b<5， ∴－10<－2b<－2，<<1，又3<a<6， ∴－7<a－2b<4，<<6，即∈(，6)，a－2b∈(－7，4)，∴B，D正确． (2)＝()3，∵3≤≤4，∴27≤()3≤64，∵2≤xy2≤3，∴≤≤，根据不等式的性质得9≤()3·≤32，则的最大值为32，当且仅时，等号成立． 利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质，特别关注性质的条件． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 训练3 (1)已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是(　　) A.(0，) B．(－，) C.(0，1) D．(－，1) D　解析：因为α∈(0，)，所以0<2α<1，又β∈[0，]，所以0≤≤，所以－≤－≤0，所以－<2α－<1. (2)(2025·郑州模拟)已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是(　　) A.(，) B．(，) C.(，1) D．(，2) B　解析：由题意，2<x<4，原式分子和分母同时除以x，得＝，由条件得2<－2y<6，所以<－<3，所以<1－<4，所以<<. [课时训练(3)见P340] 学科网（北京）股份有限公司 $$