第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第2节　常用逻辑用语 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定．(热点) [对应学生用书P5] 一、充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 对于给定命题，首先要明确条件是什么，结论是什么，然后再考虑互推关系． 二、全称量词与存在量词 1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． 2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 三、全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 一、教材典题改编 1．[人教A版必修第一册P23习题1.4T2(5)改编]设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 2．[人教A版必修第一册P31例5(2)改编]命题“∃x∈R，x2－x＋1＝0”的否定是____________． 答案：∀x∈R，x2－x＋1≠0 3．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______________. 答案：(－∞，3)　解析：依题意可知，集合A是集合B的真子集，所以实数a的取值范围是(－∞，3). 二、易误易混澄清 1．(不对命题完全否定)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案：A 2．(混淆条件与结论)“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　) A．－1<x<－ B．x>0 C．－1<x<0 D．x<0 D　解析：ln (x＋1)<0等价于0<x＋1<1，即－1<x<0，这是结论，因为－1<x<0可以推出x<0，而x<0不能推出－1<x<0，所以x<0是－1<x<0的必要不充分条件，所以“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”． 3．(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的________条件． 答案：充分不必要 [对应学生用书P6] 考点一　充分、必要条件的判断 1．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C　解析：根据立方的性质和指数函数的性质，“a3＝b3”与“3a＝3b”都当且仅当a＝b时，等号成立，所以二者互为充要条件． 2．(2025·天津模拟)对于实数x，“x≠5”是“|x－3|≠2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B　解析：因为|x－3|≠2等价于x≠1且x≠5，且(－∞，1)∪(1，5)∪(5，＋∞)是(－∞，5)∪(5，＋∞)的真子集，所以“x≠5”是“|x－3|≠2”的必要不充分条件． 3．(2025·广州调研)已知p：(x＋2)(x－3)<0，q：|x－1|<2，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B　解析：由已知得p：－2<x<3，q：－1<x<3，由于{x|－2<x<3}{x|－1<x<3}，所以p是q的必要不充分条件． 4．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 B　解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，则sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要不充分条件． 判断充分、必要条件的两种方法 (1)定义法：①弄清条件p和结论q分别是什么；②尝试p⇒q，q⇒p；③根据定义进行判断． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含(或真包含)关系进行判断． 定义法适用于推理判断性问题，集合法适用于涉及字母范围的推断问题． 考点二　充分、必要条件的探究与应用 [例1](1)(2025·临沂高三开学考试)“x>y”的一个充分条件可以是(　　) A.2x－y> B．x2>y2 C.>1 D．xt2>yt2 (2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________． 答案：(1)D　(2)[0，3]　解析：(1)由x>y，得x－y>0，所以对于选项A，2x－y>⇒2x－y>2－1⇒x－y>－1，所以x－y>－1不一定有x－y>0，故A错误；对于选项B，由x2>y2，得x2－y2>0，则(x＋y)(x－y)>0，故B错误；对于选项C，>1整理得y(x－y)>0，则故C错误；对于选项D，因为xt2>yt2，则t2>0，所以x>y，成立，故D正确． (2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]. [变式探究] 若本例(2)将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是________． 答案：[0，3]　解析：由例题得，若x∈P是x∈S的必要条件，则0≤m≤3，当m＝0时，S＝{1}，不充分；当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4}，也不充分，故m的取值范围为[0，3]. 1．充分、必要条件的探求 类型 含义 探求p成立的充分不必要条件 探求的条件⇒p；p⇒/ 探求的条件 探求p成立的必要不充分条件 探求的条件⇒/ p；p⇒探求的条件 探求p成立的充要条件 探求的条件⇒p；p⇒探求的条件 2.利用充分、必要条件求参数的两个关注点 (1)转化：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)检验：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 训练1 (2024·乌鲁木齐二模)使“>1”成立的一个充分不必要条件是(　　) A.x>0 B．0<x< C.0<x<1 D．0<x<2 B　解析：由>1，得>0，解得0<x<1，则选项中的x的范围组成的集合是(0，1)的真子集，由此可知，选项A，C，D均不满足，选项B满足． 考点三　全称量词与存在量词 考向1　含量词命题的否定及真假判断 [例2] (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 B　解析：对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题，综上所述，¬p和q都是真命题． 考向2　根据含量词命题的真假求参数问题 [例3] (1)若“∃x∈[－1，2]，－x2＋2≥a”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.(2，＋∞) B．[2，＋∞) C.(－2，＋∞) D．(－∞，－2] (2)已知函数f(x)＝x＋(x∈[，1])，g(x)＝2x＋a(x∈[2，3])，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)A　(2)[，＋∞)　解析：(1)若“∃x∈[－1，2]，－x2＋2≥a”是假命题，则“∀x∈[－1，2]，－x2＋2<a”是真命题，当x＝0时，－x2＋2取得最大值2，所以a>2. (2)依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)＝x＋在[，1]上单调递减，所以f(x)max＝f()＝，因为g(x)＝2x＋a在[2，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)＝8＋a，所以≤8＋a，解得a≥，故实数a的取值范围是[，＋∞). 由命题真假求参数范围的策略 一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围； 二是利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成¬p的真假求参数的范围． 训练2 (2025·昆明阶段练习)若命题“∀x<2，2x<a”为真命题，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，4] B．(－∞，4) C.[4，＋∞) D．(4，＋∞) C　解析：函数y＝2x在R上单调递增，当x<2时，2x<22＝4，“∀x<2，2x<a”为真命题，则a≥4，即实数a的取值范围为[4，＋∞). [课时训练(2)见P338] 学科网（北京）股份有限公司 $$