第10章 第4节 随机事件、频率与概率（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

高考总复习 数学 第十章　计数原理、 离散型随机变量及其分布 第4节　随机事件、频率与概率 1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 2．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算． 3．结合实例，会用频率估计概率． 衔接教材 夯基固本 基本结果 衔接教材 夯基固本 子集 衔接教材 夯基固本 一定发生 B⊇A 衔接教材 夯基固本 不能同时发生 有且仅有一个发生 衔接教材 夯基固本 A∪B A∩B 衔接教材 夯基固本 概率P(A) 衔接教材 夯基固本 从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 衔接教材 夯基固本 D 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 A 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 ACD 关键能力 进阶突破 BC 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 AD 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 ABC 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 请完成：课时训练（71） 温馨提示 谢谢观看！ 一、有限样本空间与随机事件 1．样本点和有限样本空间 (1)样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． (2)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 2．随机事件 (1)定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件． (2)表示：一般用大写字母A，B，C，…. (3)随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 二、事件的关系 定义 表示法 图示 包含 关系 若事件A发生，事件B__________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) ______(或A⊆B) 定义 表示法 图示 互斥 事件 如果事件A与事件B______________，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立 事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中__________________，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 三、事件的运算 1．并事件：事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).表示法为_______(或A＋B).图示为． 2．交事件：事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).表示法为_________(或AB).图示为． 四、频率的稳定性 1．定义：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的____________．我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 2．作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A). 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第二册P235T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 答案：0.5 2．(北师版必修第一册P190T3改编)一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球．从中不放回地先后取出2个球，则样本点的个数为________． 答案：12 3．(人教A版必修第二册P257T1改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________. 4．(苏教版必修第二册P293T3改编)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.4，目标未受损的概率为0.2，则使目标受损但未击毁的概率为________． 答案：0.4 二、易误易混澄清 1．(混淆互斥事件与对立事件)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下列选项中，是互斥事件但不是对立事件的为(　　) A.恰有1个白球和全是白球 B.至少有1个白球和全是黑球 C.至少有1个白球和至少有2个白球 D.至少有1个白球和至少有1个黑球 解析：由题意可知，选项C，D表示的事件均不是互斥事件；选项A，B表示的事件为互斥事件，但选项B表示的事件又是对立事件，满足题意的只有A. 2．(混淆频率与概率)给出下列三个命题，其中正确命题有________个． ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案：0　 解析：①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念． 考点一　随机事件及样本空间 1．(2025·宜宾开学考试)已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是(　　) A.事件“都是红色球”是随机事件 B.事件“都是白色球”是不可能事件 C.事件“至少有一个白色球”是必然事件 D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 解析：因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况．事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确． 2．同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数为(　　) A.3 B．4 C.5 D．6 解析：事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，故样本点的个数为6. 3．袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为(　　) A.5 B．6 C.7 D．8 解析：因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}．共8个． 确定样本空间的方法 (1)随机事件的结果是相对于条件而言的，要弄清某一随机事件的结果，必须明确试验背景，即事件发生的前提或游戏规则． (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 考点二　随机事件的关系及运算 [例1] (1)(多选)(2024·广州模拟)从含有若干次品的一批产品中随机取出三件，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是(　 　) A.事件B与C互斥 B.事件A与C互斥 C.事件A与B互斥 D.B∪C是必然事件 (2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是(　　) A.A∩D＝∅ B．B∩D＝∅ C.A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 解析：(1)事件A指的是三件产品都是合格品；事件B指的是三件产品全是次品；事件C指的是包括0件次品(全是合格品)，一件次品，两件次品三个事件；事件A包含于C，故B错误，B与C是互斥事件，而且是对立事件，故A，D正确；A和B是互斥事件，故C正确． (2)“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D. 判断互斥事件、对立事件的两种方法 (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 训练1 (1)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断正确的是(　　) A.A与D为对立事件 B.B与C是互斥事件 C.C与E是对立事件 D.P(C∪E)＝1 解析：当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B错误；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C错误；显然A与D是对立事件，A正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确． (2)(多选)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数大于2”，D3＝“点数大于4”．下列结论判断正确的是(　 　) A.C1与C2互斥 B.D1∪D2＝Ω，D1D2＝∅ C.D3⊆D2 D.C2，C3为对立事件 解析：由题意C1与C2不可能同时发生，它们互斥，A正确；D1中点数为1或2，D2中点数为3，4，5或6，因此D1∪D2是必然事件，但它们不可能同时发生，因此D1D2为不可能事件，B正确；D3发生时，D2一定发生，但D2发生时，D3可能不发生，因此D3⊆D2，C正确；C2与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误． 考点三　频率与概率 [例2] 某商场为提高服务质量，用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，结果如表所示． 满意 不满意 男顾客 50 10 女顾客 50 30 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2)估计顾客对该商场满意的概率； (3)若该商场一天有2 100名顾客，大约有多少人对该商场的服务满意？ (4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关？并说明理由． 解：(1)估计男顾客对该商场服务满意的概率为＝；女顾客对该商场服务满意的概率为＝. (2)估计顾客对该商场满意的概率为＝. (3)2 100×＝1 500(人)，所以约有1 500人对该商场的服务满意． (4)由(1)知男顾客对该商场服务满意的比例约为≈0.833， 女顾客对该商场服务满意的比例约为＝0.625， 因为这两个比例相差较大，所以可以认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关． 频率与概率的关系及求法 (1)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． (2)利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率． 训练2 某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数/辆 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率． 解：(1)由题意，样本车辆数为500＋130＋100＋150＋120＝1 000，设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，由频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 因为投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，且事件A与B为互斥事件，所以所求概率为 P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24. $$