第8章 第6节 双曲线 （课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

高考总复习 数学 第八章　解析几何 第6节　双曲线 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率、实虚轴). 3．会解双曲线中的焦点三角形，会求双曲线的标准方程、渐近线、离心率等． 衔接教材 夯基固本 距离的差的绝对值 焦点 焦距 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 x∈R，y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) 衔接教材 夯基固本 a2＋b2 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 BC 衔接教材 夯基固本 B 衔接教材 夯基固本 A 衔接教材 夯基固本 D 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 C 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 BC 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 ACD 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 请完成：课时训练（57） 温馨提示 谢谢观看！ 一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的________________________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. 1．当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； 2．当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； 3．当2a>|F1F2|时，P点不存在． 二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R _______________________ 对称性 对称轴：__________；对称中心：_______ 顶点 ______________________ A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x __________ y＝±x 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 离心率 e＝______，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝_________ 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________ 追根 溯源 (北师版选择性必修第一册P68T4)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，求双曲线C的渐近线方程 发现 感悟 高考题与教材习题完全一致，进一步凸显了一轮复习回归教材的紧迫性．双曲线渐近线求解的关键是根据条件中的代数关系和几何关系建立关于系数a，b，c的齐次方程，并结合定义求解 二、教材典题改编 1．(多选)(人教A版选择性必修第一册P124T4改编)已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.y2－＝1 D．x2－＝1 2．(人教A版选择性必修第一册P127T1改编)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　) A.1 B．17 C.1或17 D．以上均不对 解析：根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，解得|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 3．(北师版选择性必修第一册P68T3改编)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　) A. B． C. D． 解析：双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，即±3x－4y＝0.由点到直线的距离公式，得＝. 4．(人教B版选择性必修第一册P155练习AT3改编)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　) A. B． C． D． 解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，∴e＝＝＝＝. 三、易误易混澄清 1．(忽视双曲线定义的条件)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是______________________． 答案：双曲线－＝1的下支　 解析：由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3.又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支． 2．(忽视讨论焦点的位置)已知双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为________________． 答案：x2－＝1或y2－＝1　 解析：依题意2c＝6，则c＝3，由＝3，得a＝1，所以b2＝c2－a2＝8.当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2－＝1. 考点一　双曲线的定义及应用 [例1] (1)(2025·榆林模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1的左、右焦点，过F1的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q.若△PQF2是正三角形，则|QF1|＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 (2)(2025·成都模拟)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点．若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则cos ∠F1BF2＝(　　) A． B． C． D． 解析：(1)根据双曲线定义有|QF1|－|QF2|＝4，由于点P在线段F1F2的垂直平分线上，所以|PF1|＝|PF2|，又|QF1|＝|PF1|＋|PQ|，|QF2|＝|PF2|＝|PQ|，所以|QF1|－|QF2|＝|PF1|＝4，故|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝2|PF1|＝8. (2)如图，由于|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，且|BF2|－|BF1|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a.设|BF1|＝m，则|AF1|＝2m，故|BF2|＝3m，所以3m－m＝2a，即m＝a，则|BF1|＝a，|AF1|＝2a，|AB|＝|BF2|＝3a，|AF2|＝4a.在△BAF2中，由余弦定理得cos ∠F1BF2＝＝. (1)“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 常用知识点 在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用 技巧 经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系 (2)应用双曲线定义需注意的问题 在双曲线的定义中，一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是两条射线或不存在． 训练1 (1)(2025·天津期中)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点P(－1，)，F1，F2是C的左、右焦点，且|PF1|＝2.若双曲线上一点M满足|MF1|＝，则|MF2|＝(　　) A．或 B． C． D． 解析：因为F1(－c，0)，|PF1|＝2，所以＝2，所以c＝2或c＝0(舍去)，又双曲线的渐近线过点P(－1，)， 所以－＝，所以＝，所以所以所以双曲线C：x2－＝1.若点M在左支上，|MF1|＝>c－a＝1，符合要求， 所以|MF2|＝|MF1|＋2a＝＋2＝；若M在右支上，|MF1|≥a＋c，但<c＋a＝3，不符合要求，所以|MF2|＝. (2)(2025·菏泽模拟) 设O为坐标原点，F1(－c，0)，F2(c，0)，存在点P满足：|PF1|＋|PF2|＝2a1(a1>c)，|PF1|－|PF2|＝2a2，且c＝2a2，则PF1与x轴正方向夹角的余弦值的取值范围为(　　) A．(0，1) B．(，1) C．(1，2) D．(，2) 解析：由解得 又a2＝，故 由余弦定理得，cos ∠PF1F2＝ ＝＝. 令e＝，由|PF1|＋|PF2|＝2a1>|F1F2|＝2c可得e∈(0，1)，则cos ∠PF1F2＝＝＝＝2－.因为f(e)＝2－在(0，1)上是增函数，故<f(e)<1.即cos ∠PF1F2∈(，1). 考点二　双曲线的标准方程 [例2] (1)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1 C．－＝1 D．－x2＝1 (2)(2024·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：(1)椭圆C的焦点坐标为(0，±2).设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由双曲线的定义可得2a＝|－|＝(＋)－(－)＝2，∴a＝.∵c＝2，∴b＝＝，因此双曲线的标准方程为－＝1. (2)由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2， 可得tan ∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，又S△PF1F2＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1，故选C. 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0). 双曲线系方程 (1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－a2<λ<b2)； (2)与双曲线－＝1(a>0，b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 1．等轴双曲线的一个焦点是F1(0，－6)，则其标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：等轴双曲线的一个焦点是F1(0，－6)，故焦点在y轴上，c＝6且a＝b，根据a2＋b2＝c2，得a＝b＝3，故双曲线的标准方程为－＝1. 2．(2025·安阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P为C上一点，PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，则双曲线C的方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．3x2－＝1 解析：由题可知双曲线的焦距为2c＝2，即c＝.因为PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，所以|F1Q|＝|F2Q|＝|F2P|＝|PQ|，所以∠PF2Q＝60°，∠F1F2Q＝30°，故PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝＝，|PF1|＝2|PF2|＝，所以|PF1|－|PF2|＝－＝＝2a，所以＝，所以a＝1，b＝，所以双曲线C的方程为x2－＝1. 考点三　双曲线的几何性质有关问题 考向1　渐近线问题 [例3] (2025·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________． 答案：4x2－y2＝1　 解析：方法一　由题意可知，若双曲线的焦点在x轴上，则可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则－＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1； 若双曲线的焦点在y轴上，则可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解． 综上可知，双曲线的方程为4x2－y2＝1. 方法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，)，∴λ＝4×12－()2＝1，∴双曲线方程为4x2－y2＝1. [例4] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． (2)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线y＝±2x与E无公共点，则e的取值范围是________． 答案：(1)　(2)(1，]　 考向2　离心率问题 解析：(1)由题可知A，B，F2三点的横坐标相等．设A在第一象限，将x＝c代入－＝1得y＝±，即A为(c，)，B为(c，－)，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5.又|AF1|－|AF2|＝2a，可得|AF1|＝2a＋|AF2|＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝. (2)因为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，因为直线y＝±2x与E无公共点，则≥2，所以0<≤，所以双曲线的离心率的取值范围为1<e＝≤，所以双曲线的离心率的取值范围是(1，]. 求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求出a，b，c的值，根据e2＝＝＝1＋直接求e； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)时，要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等． 考向3　与双曲线有关的最值问题 [例5] (1)已知双曲线E：－＝1(m>0)的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A(0，1)，则|PF|－|PA|的最大值为(　　) A． B．－2 C．2 D．2－2 (2)如图，设双曲线C：x2－＝1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点A是C右支上的一点，则|AF1|＋的最小值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：(1)因为双曲线的离心率为2，所以＝2，解得m＝1，则左焦点F1为(－2，0).由双曲线的定义得|PF|－|PA|＝|PF1|－2a－|PA|＝|PF1|－|PA|－2.因为||PF1|－|PA||≤|AF1|，当且仅当F1，A，P三点共线时|PF|－|PA|最大，所以|PF|－|PA|≤|AF1|－2＝－2＝－2. (2)由双曲线C：x2－＝1可得a2＝1，b2＝24，所以c2＝a2＋b2＝25，所以a＝1，c＝5.由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝|AF2|＋2，所以|AF1|＋＝|AF2|＋＋2.由双曲线的性质可知|AF2|≥c－a＝4.令|AF2|＝t，则t≥4，所以|AF1|＋＋2＝t＋＋2.令f(t)＝t＋＋ 2(t≥4)，则f(t)在[4，＋∞)上单调递增，所以当t＝4时，f(t)取得最小值4＋＋2＝7，此时点A为双曲线的右顶点(1，0)，即|AF1|＋的最小值为7. 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解． (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决． (3)若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可建立目标函数，利用函数或基本不等式求最值． 训练2 (1)(多选)(2025·长沙质检)已知双曲线的方程为－＝1，则(　　) A．渐近线方程为y＝±x B．焦距为8 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8 解析：由题意，易知双曲线的实半轴长a＝8，虚半轴长b＝4，半焦距c＝＝4，且焦点在y轴上，则渐近线方程为y＝±x＝±2x，A错误；焦距为2c＝8，B正确；离心率e＝＝，C正确；上焦点为(0，4)，焦点到渐近线的距离为4，D错误． (2)设双曲线C1：x2－y2＝1，C2：－＝1(b>0)的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则b＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：由双曲线C1：x2－y2＝1，可得其离心率为e1＝，又由双曲线C2：－＝1(b>0)，可得其离心率为e2＝＝.因为e2＝e1，可得＝×，解得b＝1. (3)(2025·嘉兴测试)已知点M(－5，0)，点P在双曲线－＝1(x>0)上运动，点Q在曲线C：(x－5)2＋y2＝1上运动，则的最小值是________． 答案：20　 解析：如图，在双曲线－＝1中，a＝3，b＝4，c＝＝5， 圆(x－5)2＋y2＝1的圆心为C(5，0)，半径r＝1，所以双曲线－＝1的左、右焦点分别为M，C.由双曲线的定义可得|PM|＝|PC|＋2a＝|PC|＋6， |PQ|≤|PC|＋1，所以≥＝(|PC|＋1)＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当|PC|＝4时，等号成立，故的最小值是20. 圆锥曲线的新情境问题 1．(圆锥曲线新情境——双纽线)“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标(如图1)，广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带(如图2).将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”．在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a(a>0)，坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足|PA|×|PB|＝a2，那 么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”(如图3).若a＝1，点P在第一象限，且cos ∠POB＝，则|PA|＝(　　) A． B． C． D．2 解析：A为(－1，0)，B为(1，0)，设P为(x，y)(x>0，y>0)，由双纽线的定义得|PA|×|PB|＝1，即×＝1，化简得(x2＋y2)2＝2(x2－y2)，显然|OB|＝1，设|OP|＝r(r>0)，∠POB＝θ(0<θ<)，则P(r cos θ，r sin θ)，代入方程(x2＋y2)2＝2(x2－y2)，得r4＝2r2(cos2θ－sin2θ)＝2r2cos2θ，所以r2＝2cos 2θ＝2(2cos2θ－1)＝2×(2×－1) ＝.由余弦定理得|PB|2＝|OP|2＋|OB|2－2|OP||OB|·cos∠POB＝＋1－2××1×＝，所以|PB|＝，所以|PA|＝＝. 2．(多选)(圆锥曲线新情境——卡西尼卵形线)天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为F1(－c，0)，F2(c，0)，点O为坐标原点，动点P(x，y)满足|PF1|·|PF2|＝a2(a≥0且为常数)，化简得曲线E：x2＋y2＋c2＝.下列命题正确的是(　 　) A．曲线E既是中心对称又是轴对称图形 B．|PF1|＋|PF2|的最小值为2a C．当a＝c时，|PO|的最大值为a D．△F1PF2的面积不大于a2 解析：对于A，以－x替换x，得(－x)2＋y2＋c2＝⇒x2＋y2＋c2＝，所以曲线关于纵轴对称；以－y替换y，得x2＋ (－y)2＋c2＝⇒x2＋y2＋c2＝，所以曲线关于横轴对称；同时以－x替换x，以－y替换y得(－x)2＋(－y)2＋c2＝⇒x2＋y2＋c2＝，所以曲线关于原点对称，所以曲线E既是中心对称又是轴对称图形，故A正确；对于B，因为|PF1|·|PF2| ＝a2，所以当a>0时，有|PF1|＋|PF2|≥＝2a，当a＝0时，显然P与F1(－c，0)，F2(c，0)中一点重合，此时|PF1|＋|PF2|＝2c，故B错误；对于C，当a＝c时，由x2＋y2＋a2＝⇒y2＝－x2－a2≥0，化简得x2≤2a2，因此有|PO|2＝x2＋y2＝－a2≤－a2＝2a2，所以|PO|≤a，故C正确；对于D，△F1PF 的面积为|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝a2·sin ∠F1PF2，当∠F1PF2＝时，△F1PF2面积的最大值为a2，故D正确． 3．(圆锥曲线新情境——四叶草曲线)(2025·昆明模拟)数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：(x2＋y2)3＝4x2y2被称为“幸运四叶草曲线”(如图所示).给出下列四个结论： ①曲线C关于直线y＝－x对称； ②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内(含边界)； ③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内(含边界)； ④曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积等于1. 其中，正确结论的序号是________． 答案：①③　 解析：在曲线C上任取一点P(x，y)，关于y＝－x对称的点为Q(－y，－x)，显然也满足方程(x2＋y2)3＝4x2y2，故①正确；显然曲线关于y＝x对称，令y＝x，代入曲线C的方程，解得，显然点(±，±)不在一个以原点为中心，边长为1的正方形内，所以不存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内(含边界)，故② 错误；由4x2y2≤4()2＝(x2＋y2)2，所以(x2＋y2)3≤(x2＋y2)2，即x2＋y2≤1，当且仅当x2＝y2＝时，等号成立，此时，点P(，)在曲线上，而|PO|＝1，所以③正确；因为|x|·|y|≤≤，所以④错误． 双曲线的二级结论 1．焦点三角形的面积公式：已知点P为双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于顶点的一点，F1，F2为左、右焦点，且∠F1PF2＝θ，则双曲线中＝. 2．双曲线的焦半径公式：已知点P(xP，yP)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，e为双曲线的离心率，则|PF1|＝|exP＋a|，|PF2|＝|exP－a|. 3．焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与双曲线相交于A，B两点，则＋＝. 4．过双曲线上一点的切线方程：已知点P(x0，y0)为焦点在x轴上的双曲线上的任一点，则过点P与双曲线相切的切线方程为－＝1. 5．周角定理：已知过原点的直线l交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的动点，则kPA·kPB＝. [例] 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F.若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D． 解析：一般法解题　设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′.因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c，0)，所以AF⊥BF，圆心为O(0，0)，半径为c. 根据双曲线的对称性可得四边形AFBF′是矩形，设|AF|＝m，|BF|＝n， 则由(n－m)2＝m2＋n2－2mn可得4c2－8a2＝4a2，所以c2＝3a2，所以＝e2＝3，所以e＝. 二级结论解题　设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′.因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c，0)，所以S△AF′F＝2a2，且∠F′AF＝，根据双曲线焦点三角形面积公式S△AF′F＝，得2a2＝b2，结合c2＝a2＋b2， 得2a2＝c2－a2⇒c2＝3a2⇒e2＝3⇒e＝. 训练 (1)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：设P为(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为－＝1，故切线l的斜率k＝.因为k·kOP＝，所以·＝，则＝，即双曲线C的离心率e＝＝. (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：由焦点三角形面积公式，得＝＝＝，即|PF1|·|PF2|·sin 60°＝|PF1||PF2|＝，所以|PF1|·|PF2|＝4. (3)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，若点P是双曲线上任意一点，且满足|PO|2＝|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：设P为(x0，y0)，则x≥a2.由焦半径公式可知|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|，其中e为双曲线的离心率．易知e2x－a2>0，则由|PO|2＝|PF1|·|PF2|，得x＋y＝x＋b2(－1)＝e2x－a2，可得(1＋－e2)x＝b2－a2＝0，则a2＝b2，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x. $$