第5章 第1节 平面向量的概念与线性运算（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

高考总复习 数学 第五章 平面向量与复数 第1节　平面向量的概念与线性运算 衔接教材 夯基固本 方向 长度(或模) 0 0 1个单位 相反 平行 衔接教材 夯基固本 相同 相反 衔接教材 夯基固本 b＋a a＋(b＋c) 衔接教材 夯基固本 减法 a－b＝a＋(－b) 向量运算 法则（或几何意义） 运算率 衔接教材 夯基固本 数乘 |λa|＝___________． 当λ>0时，λa的方向与a的方向________； 当λ<0时，λa的方向与a的方向________； 当λ＝0时，λa＝___ λ(μa)＝________________； (λ＋μ)a＝______________； λ(a＋b)＝______________ |λ||a| 相同 相反 (λμ)a λa＋μa λa＋λb 0 衔接教材 夯基固本 b＝λa 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 ABD 衔接教材 夯基固本 B 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 AB 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 CD 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 AC 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 BD 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 则A，P，B三点共线． 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 等和(高)线定理 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 请完成：课时训练（34） 温馨提示 谢谢观看！ 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2．理解平面向量的几何表示和基本要素． 3．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．(重点) 4．通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．(重点) 5．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有_____________的量叫做向量，向量的大小称为向量的_________________． 2．零向量：长度为________的向量，记作________． 3．单位向量：长度等于_______________长度的向量． 4．平行向量：方向相同或________________的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量________________． 5．相等向量：长度相等且方向________________的向量． 6．相反向量：长度相等且方向________________的向量． 二、向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝________________； 结合律：(a＋b)＋c＝_____________________ 三、向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使____________________． 1．多边形法则：一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋). 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋). 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A.3m－2n　　　 B．－2m＋3n C.3m＋2n D．2m＋3n 追根溯源 (人教A版必修第二册P14例6)如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和 发现感悟 高考试题在教材题目的基础上加以改造，考查向量线性运算，解题的关键是熟练利用向量线性运算的三角形法则和平行四边形法则 二、教材典题改编 1．(多选)(苏教版必修第二册P15T5改编)若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法正确的是(　　) A．a∥b　　　　　　 B．a≠b C．|a|≠|b| D．b＝－a 2．(人教A版必修第二册P22习题6.2T4改编)下列各式化简结果正确的是(　　) A.＋＝ B．＋＋＋＝ C．＋－＝0 D．－－＝ 3．(人教A版必修第二册P16练习T3改编)已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝e1－2e2，b＝2e1＋ke2，若a与b是共线向量，则实数k的值为________． 答案：－4 三、易误易混澄清 1．(多选)(忽视零向量及参数为0)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 解析：C错误，例如m＝0；D错误，例如a＝0；A，B是数乘运算的分配律，正确． 2．(忽视两向量的方向关系)已知|a|＝2，|b|＝5，则|a＋b|的取值范围是________． 答案：[3，7]　 解析：当a与b方向相同时，|a＋b|＝7；当a与b方向相反时，|a＋b|＝3；当a与b不共线时，3<|a＋b|<7.所以|a＋b|的取值范围为[3，7]. 考点一　平面向量的概念 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关 D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b| 解析：对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，0的相反向量为0，B错误；对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；对于D，相反向量是长度相等、方向相反的向量，D正确． 2．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 D．两个终点相同的向量，一定是共线向量 解析：对于A，向量与向量的长度相等，方向相反，故A正确；对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；对于C，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误． 3．已知a，b都是非零向量，则下列四个选项中，为“＝”的充分条件的是(　　) A．a＝3b B．a∥b C．a＝－b D．a∥b且|a|＝|b| 解析：＝等价于a与b同向，根据选项，当a＝3b时，a与b同向． 4．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为(　　) A． B． C． D． 解析：A，B选项均与方向不同，C选项与长度不相等，D选项与方向相同、长度相等． 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)是与a同方向的单位向量． 考点二　平面向量的线性运算 考向1　平面向量加、减运算的几何意义 [例1] (1)在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则(　　) A．＝0 B．＝0或＝0 C．平行四边形ABCD是矩形 D．平行四边形ABCD是菱形 (2)已知非零向量a，b，c，则“|a－b|≤1，|b－c|≤2”是“|a－c|≤3”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：(1)∵|＋|＝|－|， ∴||＝||，∴平行四边形ABCD是矩形． (2)如图，由|a－b|≤1，|b－c|≤2，得|a－c|≤|a－b|＋|b－c|≤3，充分性成立；当|a－c|≤3时，不一定有|a－b|≤1，|b－c|≤2，必要性不成立．综上可知，“|a－b|≤1，|b－c|≤2”是“|a－c|≤3”的充分不必要条件． 利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法 (1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题； (2)平面几何中如果出现平行四边形(或三角形)或可能构造出平行四边形(或三角形)的问题，可考虑利用向量知识来求解． 考向2　平面向量的线性运算 [例2] (2025·保定模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE和BD相交于点F.记＝a，＝b，则(　　) A．＝－a－b B．＝a＋b C．＝－a－b D．＝a＋b 解析：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点， 因为DE∥AB，所以＝＝，所以DF＝BF＝DB， 则＝＋＝－＋＝－＋(－)＝－－＝－a－b. 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，首尾相连的向量求和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 考向3　利用向量的线性运算求参数 [例3] (2025·盐城模拟)在△ABC中，边BC上的中线与边AC上的中线的交点为E，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 解析：由题可知E为三角形的重心，则＝×(＋)＝(＋－)＝－，∴λ＝，μ＝－，∴λ＋μ＝－. 利用向量的线性运算求参数的方法 解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量线性运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数． 训练1 (1)(2025·南充诊断)如图，在△ABC中，＝4，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 解析：因为＝4，所以－＝4(－)，所以5＝＋4，即＝＋. (2)(多选)(2025·唐山六校联考)对于任意向量a，b，下列说法中正确的有(　　) A．|a＋b|≥|a|＋|b| B．|a＋b|≥|a|－|b| C．|a＋b|≥|a－b| D．|a|＋|b|≥|a＋b| 解析：对于A，当a，b为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知|a＋b|≥|a|－|b|，故B正确；对于C，若非零向量a，b方向相反，则|a＋b|<|a－b|，故C错误；对于D，易知|a|＋|b|≥|a＋b|，故D正确． (3)在△ABC中，P是BC上一点，若＝2，＝λ＋μ，则2λ＋μ＝________． 答案：　 解析：在△ABC中，＝2，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又＝λ＋μ，且，不共线，则λ＝，μ＝，所以2λ＋μ＝. 考点三　共线向量定理及其应用 [例4] 已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R). (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)，＝[m＋(1－m)]， 故m＋(1－m)＝m＋(1－m)， 即m(－)＝(1－m)(－)， m＝(1－m)，即，共线． 又，有公共点P， (2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得＝λ， 变形得－＝λ(－)，即(1＋λ)＝λ＋，＝＝＋.又＝m＋n，＋＝1，故m＋n＝1. 利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 训练2 (1)若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于(　　) A．－1 B．1 C． D．2 解析：由题意知，＝－＝a－(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得＝λ， 即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b.因为向量a，b不共线， 所以解得λ＝1，k＝1. (2)(2025·太原模拟)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，＝，CP的延长线与AB交于点N，则(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析：设＝λ，则＝＝×(＋)＝＋＝＋.因为N，P，C三点共线， 所以＋＝1，解得λ＝5，所以＝5，所以＝. (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由于△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ.又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立． (2)平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． [例] 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________． 答案：2　 解析：方法一　由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略). 其中A(1，0)，B(－，)，C(cos θ，sin θ) (其中∠AOC＝θ，0≤θ≤). 则有＝(cos θ，sin θ)＝x(1，0)＋y(－，)， 即得x＝sin θ＋cos θ，y＝sin θ， x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋)，其中0≤θ≤，所以θ＋∈[，]，所以(x＋y)max＝2， 当且仅当θ＋＝，即θ＝时取得最大值2. 方法二　如图，连接AB交OC于点D， 设＝t，由于＝x＋y，所以＝t(x＋y).因为D，A，B三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝.由于||＝t||＝t，当OD⊥AB时，t取到最小值；当点D与点A或点B重合时，t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2. 方法三(等和线法)　连接AB，过C作直线l∥AB，则直线l为以，为基底的平面向量基本定理系数的等和线，设l与圆弧相切于C1，OC1与AB交于点D，根据等和线定理，OC1＝kOD，显然此时定值最大． 因为∠AOB＝120°，所以OC1＝＋，所以x＋y的最大值为2. 训练 如图，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 答案：　 解析：由等和线定理可知λ＋μ＝＝. $$