第10章　第1节　计数原理（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

高考总复习 数学 第十章　计数原理、离散型随机变量及其分布 第1节　计数原理 m＋n m×n 衔接教材 夯基固本 落实 顺序 衔接教材 夯基固本 落实 个数 个数 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 关键能力 进阶突破 提升 A C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 64 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 ACD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练（75） 温馨提示 谢谢观看！ 1．通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 2．通过实例，理解排列、组合的概念． 3．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 一、两个计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝______种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法． 二、排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的______排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 三、排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的______ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的______ 公式 A＝n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1，A＝nA C＝1，C＝C，C＋C＝C 1. “排列”与“组合”的辨析：排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合． 2．排列数与组合数之间的联系：CA＝A. 3．关于组合数公式的选取技巧 (1)涉及具体数字的可以直接用C＝·＝＝C进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． (3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2023·新课标 Ⅰ 卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答) 追根 溯源 (人教A版选择性必修第三册P25T3)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩．(1)共有多少种不同的选法？(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法 发现 感悟 两题均以学生实际生活为背景考查组合问题，考查角度及所用知识一致，解决此类问题的关键是区分分类加法计数原理与分步乘法计数原理，排列与组合的区别 二、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第三册P11T3改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 2．(人教B版选择性必修第二册P8练习AT1改编)某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有(　　) A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 3．[人教A版选择性必修第三册P26T4(2)改编]从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数为(　　) A．12 B．24 C．64 D．81 4．(苏教版选择性必修第二册P96T4改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________． 答案：30 三、易误易混澄清 1．(混淆两个计数原理)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有________种不同的取法． 答案：20 解析：分两步完成，第一步从第1个口袋内任取1个小球有5种方法，第二步从第二个口袋内取1个小球有4种方法，根据分步乘法计数原理得到不同的取法是5×4＝20(种). 2．(解题时易出现重复的情况)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区宣传活动，如果要求至少有1名女生参加，那么不同的选派方案种数为_______________． 答案：14 解析：4人中至少有1名女生包括两种情况：1女3男，2女2男，故有CC＋CC＝14种． 考点一　两个计数原理 [例1] (1)集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　) A．9 B．14 C．15 D．21 (2)(2025·南京期中)甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为(　　) A．6　　　　B．12　　　　C．18　　　　D．24 (3)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有(　　) A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 解析：(1)当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法．因此满足条件的点共有7＋7＝14(个). (2)甲、乙两人听同一个讲座，方法数有3种，丙、丁两人听不同的讲座，方法数有2种，所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为3×2＝6(种). (3)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2×1＝24(种)；②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种).故不同的涂色方法有48＋24＝72(种). (1)利用两个计数原理解决问题的一般步骤 (2)对于分类过多的问题，可以采用间接法，利用正难则反的原则，先计算出全部的再减去不符合要求的． 训练1 (1)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是(　　) A．14 B．23 C．48 D．120 解析：分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8种不同的取法；第2步，取旋转体，有4＋2＝6种不同的取法，所以不同的取法种数是8×6＝48. (2)将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有________种． 答案：42 解析：从左往右5块试验田分别有3，2，2，2，2种种植方法，所以不同的种植方法种数为3×2×2×2×2＝48，这些方法中包含“5块试验田只种植2种农作物”的情况，种数为3×2×1×1×1＝6.所以满足题意的不同的种植方法种数为48－6＝42. 考点二　简单的排列、组合问题 [例2] (1)(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种　　　　B．60种　　　　C．120种　　　　D．240种 (2)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答). 解析：(1)方法一　先从6种读物中选1种作为两人选择的相同读物，再从另外5种读物中选2种分别作为甲、乙两人选择的不同读物，则不同的选法种数为CA＝120.故选C． 方法二　甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法，故选C． (2)方法一　由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有CC种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有CC种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CC种方案．综上，不同的选课方案共有CC＋CC＋CC＝64(种). 方法二　若学生从这8门课中选修2门课，则有C－C－C＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C－C－C＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种). 1．排列应用问题的分类与解法 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2．组合问题常见的两类题型 (1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； (2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 训练2 (1)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答). 答案：60 解析：当一、二、三等奖被三个人获得，共有A＝24种不同的情况，当一、二、三等奖被两个人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有CA＝36种不同的情况，所以获奖的不同情况有24＋36＝60种． (2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有_____________种不同的选法(用数字作答). 答案：660 解析：方法一　只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有CCA＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有CA＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法． 方法二　不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种). 考点三　排列与组合的综合问题 考向1　相邻与相间问题 [例3] (2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种　　　　B．24种　　　　C．36种　　　　D．48种 解析：先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24种，故选B． 相邻、相间问题的解题策略 (1)求相邻问题时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列； (2)求不相邻问题时，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中． 考向2　定序问题 [例4] 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有______种． 答案：840 解析：7名学生的排列共有A种，其中女生的排列共有A种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有＝A＝840种不同的排法． 考向3　分组、分配问题 [例5] 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本． 解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种方法， 由分步乘法计数原理知，分配方法共有CCC＝60种． (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360种． (3)无序均匀分组问题．共有＝15种． (4)在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种． (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A即可，共有＝15种． (6)在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种． 1．定序问题的解题策略 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数． 2．对于分堆与分配问题应注意三点 (1)处理分配问题要注意先分堆再分配； (2)被分配的元素是不同的； (3)分堆时要注意是否均匀． 训练3 (1)3名大学生利用假期到2个山村参加志愿工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．8种 解析：根据题意，可先将3名大学生分成2组，一组2人，一组1人，共有C＝3种分法，再将这两组分配到2个山村，有A＝2种分法，故共有3×2＝6种分配方案． (2)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(　　) A．若A，B不相邻，共有72种排法 B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法 C．若A在B右边有60种排法 D．若A，B两人站在一起有48种排法 解析：对于A，若A，B不相邻，共有AA＝72种排法，故A正确；对于B，若A不站在最左边，B不站在最右边，利用间接法有A－2A＋A＝78种排法，故B错误；对于C，若A在B右边有＝60种排法，故C正确；对于D，若A，B两人站在一起有AA＝48种排法，故D正确． (3)(2024·滁州一中检测)某学校安排4名老师到学校的两个入口处进行值班，每个入口至少需要1人，每人都必须参加，则安排的方法总数为________． 答案：14 解析：若一组1人，另一组3人，则有C＝4种分法，若每组2人，则有＝3种分法，将分好后的各小组分配到两入口处，共有(4＋3)×A＝14(种)安排方法． $$