第2章 第6节 第三课时 对数函数（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

高考总复习 数学 第二章 函数 第6节　指数函数、对数函数 第三课时　对数函数 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 __________ 值域 R (0，＋∞) 衔接教材 夯基固本 性质 过定点__________，即x＝__时，y＝__ 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 在(0，＋∞)上是______ 在(0，＋∞)上是______ (1，0) 1 y>0 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 0 衔接教材 夯基固本 y＝x 衔接教材 夯基固本 1．如图给出4个对数函数的图象3 衔接教材 夯基固本 高考真题 (2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a　　　　　　B．b<a<c C.a<c<b D．a<b<c 衔接教材 夯基固本 追根溯源 (人教A版必修第一册P141T13)比较下列各题中三个值的大小：(1)log0.26，log0.36，log0.46；(2)log23，log34，log45 发现感悟 高考题是对教材习题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后进行比较，而变形的过程中应用了函数的单调性 衔接教材 夯基固本 D 衔接教材 夯基固本 D 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 AB 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 BD 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 BC 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 请完成：课时训练（14） 温馨提示 谢谢观看！ 1．通过实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．(重点) 2．知道指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 二、对数函数的图象与性质 三、反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线______对称． 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1). 一、“教考衔接”例证 二、教材典题改编 1．(湘教版必修第一册P123T19改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 解析：利用对数恒等式，有y＝10lg x＝x(x>0)，其定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)，结合选项知，D正确． 2．[人教A版必修第一册P160T5(2)改编]已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(2)，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 解析：∵f(x)＝|lg x|＝ ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)＝lg 2＝－lg ＝f()，∵0<<<<1， ∴f()>f()>f()＝f(2)，∴c<b<a. 3．(苏教版必修第一册P158T4改编)函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________． 答案：(，＋∞) 答案：(，1]　 三、易误易混澄清 1．(忽视对底数的讨论)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 答案：2或 2．(忽视真数大于零)函数y＝的定义域是________． 解析：由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1， ∴<x≤1，∴函数的定义域是(，1]. 考点一　对数函数的图象及应用 [例1] (1)(多选)(2025·辽宁模拟)已知ax＝b－x，则函数y＝loga(－x)与y＝bx在同一坐标系中的大致图象可能是(　　) (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) 解析：(1)因为ax＝b－x，即ax＝()x，所以a＝.当a>1时，0<b<1，则指数函数y＝bx在R上单调递减，且图象过点(0，1)，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增且图象过点(1，0)，将y＝logax的图象关于y轴对称得到y＝loga(－x)的图象，则y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减且图象过点(－1，0)，故A符合题意；当0<a<1时，b>1，同理可得，指数函数y＝bx在R上单调递增，且图象过点(0，1)，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增且图象过点(－1，0)，故B符合题意． (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，∴＜a＜1. 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 训练1 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c是常数，其中a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，下列关于a，c的表述，正确的是(　　) A．a>1，c>1 B．a>1，0<c<1 C．0<a<1，c>1 D．0<a<1，0<c<1 解析：由题图可以看出0<a<1，logac>0，loga(1＋c)<0，故得0<c<1，0<a<1. (2)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________． 答案：(1，＋∞)　 解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1. 考点二　对数函数的性质 考向1　比较对数值的大小 [例2] (1)(2025·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b (2)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 解析：(1)a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b. (2)a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1.因为log35＝＞＝log45，所以a＞b＞c. 比较对数值大小的常见类型及解题方法 考向2　解简单的对数方程或不等式 [例3] (1)若1＋lg x－lg y＝lg y2，则＝______． (2)已知a>0，a≠1，则关于x的不等式|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|的解集为________. 答案：(1)10　(2)(0，1)　 解析：(1)因为1＋lg x－lg y＝lg y2，所以lg 10＋lg x＝lg y2＋lg y，所以lg (10x)＝lg y3(x>0，y>0)，则10x＝y3，所以＝10. (2)易知－1<x<1，且x≠0，原不等式可化为||>||，即|lg (1－x)|>|lg (1＋x)|，两边同时平方得[lg (1－x)]2>[lg (1＋x)]2，即[lg (1－x)＋lg (1＋x)]·[lg (1－x)－lg (1＋x)]>0，所 以lg (1－x2)·lg >0.又－1<x<1，且x≠0，所以0<1－x2<1，所以lg (1－x2)<0，从而lg <0，解得0<x<1. 对数不等式的常见类型与求解方法 (1)对于形如logaf(x)>b的不等式，一般转化为logaf(x)>logaab的形式，再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0<f(x)<ab. (2)而对于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式，通过用图象法或转化法来解． 考向3　对数函数性质的综合 [例4] (多选)(2025·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝log4(1＋4x)－x，则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于y轴对称 C.函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数 D.函数f(x)的值域为[，＋∞) 解析：易知f(x)的定义域为R，f(x)＝log4(1＋4x)－log44＝log4＝log4(2－x＋2x)，由于f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，因此f(x)为偶函数，故A选项错误，B选项正确；令t＝2x，则f(x)＝log4(t＋)，令s＝t＋，则f(x)＝log4s，当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，所以s＝t＋为增函数，又y＝log4s为增函数，所以y＝log4(t＋)为增函 数，又t＝2x为增函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，故选项C错误；因为f(x)为R上的偶函数，所以f(x)≥f(0)＝，所以f(x)的值域为[，＋∞)，故选项D正确． 解决对数函数性质综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数的范围是(0，1)，还是(1，＋∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性． 训练2 (1)已知a＝3，b＝log2，c＝log，则(　　) A.a>c>b B．c>a>b C.a>b>c D．c>b>a 解析：因为函数y＝3x为增函数，所以a＝3>30＝1，即a>1；因为y＝log2x为增函数，所以b＝log2<log21＝0，即b<0；因为y＝logx为减函数，所以log1<log<log，即0<c<1，故a>c>b. (2)已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(2，＋∞) B．[2，＋∞) C.(5，＋∞) D．[5，＋∞) 解析：由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，因为y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5. (3)(多选)关于函数f(x)＝ln (e2x＋1)－x，下列说法正确的有(　　) A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)的最小值为ln 2，无最大值 D.f(x)的最大值为ln 2，无最小值 解析：由题易知f(x)＝ln (ex＋)，令t＝ex>0，在R上单调递增，则g(t)＝t＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以u＝ex＋在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝ln u在定义域上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误；f(－x)＝ln (e－x＋)＝ln (ex＋)＝f(x)，即 f(x)为偶函数，故B正确；由u＝ex＋≥2，当且仅当ex＝，即x＝0时，等号成立，可知f(x)min＝f(0)＝ln 2，无最大值，故C正确，D错误． (4)已知loga<logaa2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围为________． 答案：(0，)∪(1，＋∞)　 解析：当0<a<1时，a2<，可得0<a<；当a>1时，a2>，可得a>1.综上所述，实数a的取值范围为(0，)∪(1，＋∞). 对数函数中的新定义问题举例 [例] 定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x叫做函数f(x)的“躺平点”．若函数g(x)＝ex－x，h(x)＝ln x，φ(x)＝2 025x＋2 025的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B．b＞a＞c C.c＞a＞b D．c＞b＞a 解析：根据“躺平点”定义可得g(a)＝g′(a)，又g′(x)＝ex－1，所以ea－a＝ea－1，解得a＝1；同理h′(x)＝，即ln b＝.令m(x)＝ln x－，则m′(x)＝＋＞0，即m(x)为(0，＋∞)上的单调递增函数，又m(1)＝－1＜0，m(e)＝1－＞0，所以m(x)在(1，e)有唯一零点，即b∈(1，e)；易知φ′(x)＝2 025，即φ(c)＝2 025c＋2 025＝φ′(c)＝2 025，解得c＝0.因此可得b＞a＞c. 训练 (2025·滨州期末)已知[a]表示不超过实数a的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，若函数y＝，其中x∈(1，＋∞)，则y＝[f(x)]的值域为(　　) A.(－2，1) B．{－2，1} C.{－1，0，1} D．{－2，－1，0} 解析：f(x)＝＝＝1－，x>1，ln x＋1>1，0<<3，所以－2<1－<1，当－2<1－<－1时，[f(x)]＝－2，当－1≤1－<0时，[f(x)]＝－1，当0≤1－<1时，[f(x)]＝0，所以y＝[f(x)]的值域为{－2，－1，0}． 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 类型一　直接利用单调性比较大小 [例1] (1)已知a＝log47，b＝log930，c＝eln ，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B．c<a<b C.a<c<b D．c<b<a (2)(2025·天津模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若a＝f(log20.2)，b＝f(20.2)，c＝f(0.20.3)，则a，b，c大小关系为(　　) A.a＜b＜c B．c＜a＜b C.a＜c＜b D．b＜a＜c 解析：(1)由题可得c＝eln ＝，a＝log47＝log2<log2＝log22＝＝c，b＝log930＝log3>log3＝log33＝c，则a<c<b. (2)log20.2＝log2＝－log25，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以a＝f(log20.2)＝f(－log25)＝f(log25).因为log25＞log24＝2，1＝20＜20.2＜21＝2，0＜0.20.3＜0.20＝1，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log25)＜f(20.2)＜f(0.20.3)，即a＜b＜c. 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较大小． 训练1 (2025·岳阳模拟)已知a＝30.5，b＝log30.5，c＝0.53，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜b＜c B．b＜a＜c C.a＜c＜b D．b＜c＜a 解析：根据指数函数y＝3x在R上单调递增可得，a＝30.5＞30＝1；根据对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增可得，b＝log30.5＜log31＝0；根据指数函数y＝0.5x在R上单调递减和值域可得，0＜c＝0.53＜0.50＝1，∴b＜c＜a. 类型二　引入中间值比较大小 [例2] (2025·上饶模拟)已知a＝log53，b＝2，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B．a＞c＞b C.b＞a＞c D．c＞b＞a 解析：因为1＝log55＞log53＞log5＝log55＝，所以＜a＜1.因为7－0.5＝()＜()＝，所以0＜c＜.又b＝2＞20＝1，所以b＞a＞c. 在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 训练2 已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B．c>b>a C.b>a>c D．a>c>b 解析：因为a＝＝log33，(3)3＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log33>log34，即a>b.又b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c. 类型三　作差(商)法比较大小 [例3] 若a＝sin 4，b＝log53，c＝lg 6，d＝e0.01，则(　　) A.a＜b＜c＜d B.a＜c＜b＜d C.b＜c＜d＜a D.a＜d＜b＜c 解析：由题意，a＝sin 4＜0，d＝e0.01＞1，0＜b＝log53＜1，0＜c＝lg 6＜1，只需比较b，c的大小，而log53－lg 6＝－lg 6＝＝＝＜0，∴b＜c，综上可得，a＜b＜c＜d. (1)一般情况下，作差或者作商可处理底数不一样的对数比较大小问题． (2)作差或者作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法． 训练3 (2025·沈阳月考)已知正实数x，y满足x<y，设a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<c<b B．c<a<b C.c<b<a D．b<c<a 解析：因为a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x，所以b－c＝y(ey－ex)，又y>x>0，e>1，所以ey>ex，所以b>c.因为c－a＝(x－y)＋(y－x)ex＝(x－y)(1－ex)，又y>x>0，ex>1，所以c－a>0，得c>a.综上可得，a<c<b. 类型四　构造函数比较大小 [例4] 已知ex－2y>ln y－x＋ln 2，则(　　) A.x>2y B．x<2y C.x>ln (2y) D．x<ln (2y) 解析：由ex－2y>ln y－x＋ln 2，得ex＋x>2y＋ln (2y)，即ex＋x>eln (2y)＋ln (2y).令f(x)＝ex＋x，易知f(x)在R上单调递增，所以x>ln (2y). 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． 训练4 已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B．b<a<c C.a<c<b D．b<c<a 解析：a＝＝，c＝＝，令f(x)＝(x>0)，∴a＝f()，b＝f(2)，c＝f(e).∵f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝＝c，∴a<c，b<c.又b＝＝ ＝＝f(4)，且4>，∴f(4)<f()，∴b<a，∴b<a<c. 类型五　利用函数图象比较大小 [例5] 若log3x＝log4y＝log5z<－1，则(　　) A.3x<4y<5z B．4y<3x<5z C.4y<5z<3x D．5z<4y<3x 解析：令log3x＝log4y＝log5z＝m<－1，则x＝3m，y＝4m，z＝5m，3x＝3m＋1，4y＝4m＋1，5z＝5m＋1，其中m＋1<0，在同一坐标系内画出y＝3x，y＝4x，y＝5x的图象，如图所示，由图可知5m＋1<4m＋1<3m＋1，故5z<4y<3x. 涉及某些由指数式、对数式给出的几个数的大小比较问题，可以把这几个数视为对应的指数函数、对数函数与另外某个函数图象交点的横坐标，利用图象的直观性解决． 训练5 已知a，b，c均大于1，满足＝2＋log2a，＝3＋log3b，＝4＋log4c，则下列不等式成立的是(　　) A.c<b<a B．a<b<c C.a<c<b D．c<a<b 解析：由＝2＋log2a，得＝log2a，由＝3＋log3b，得＝log3b，由＝4＋log4c，得＝log4c，所以考虑y＝(x>1)和y＝logmx(m＝2，3，4)的图象相交时，交点的横坐标的大小．在同一平面直角坐标系中，画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝(x>1)的图象，如图所示，根据图象可知a<b<c. $$