第1章 第5节 一元二次函数、方程和不等式（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

高考总复习 数学 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第5节　 一元二次函数、方程和不等式 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ______________________ ___________  ___ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ____________________  ___  ___  {x|x＞x2 或x＜x1} R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 续表 衔接教材 夯基固本 f(x)·g(x)＞0(＜0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 衔接教材 夯基固本 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} ____________ _____________ (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b}  __ ____________ {x|x≠a} {x|x<b或x>a} ∅ {x|b<x<a} 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 D 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 B 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 B 衔接教材 夯基固本 C 衔接教材 夯基固本 衔接教材 夯基固本 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 ABC 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 请完成：课时训练（6） 温馨提示 谢谢观看！ 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 2．了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式．(重点) 3．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 一、一元二次不等式 把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 二、三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 {x|x≠－} 三、分式不等式与整式不等式 1.＞0(＜0)⇔____________________________________． 2.≥0(≤0)⇔_____________________________________． 四、(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ 一、教材典题改编 1．(人教B版必修第一册P75练习B T1改编)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4} C．{0，1} D．{2，4} 解析：由题意得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，∴A∩B＝{2，4}． 2．(苏教版必修第一册P69T9改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解析：不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)·(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m. 3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________． 答案：(－3，0]　 解析：当k＝0时，满足题意；当k≠0时，解得－3<k<0，所以－3<k≤0. 二、易误易混澄清 1．(忽视二次项的符号)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　　) A．(，＋∞) B．[，2] C．[2，＋∞) D．(－∞，] 解析：由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)·(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为[，2]. 2．(忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，2) B．(2，＋∞) C．(－2，2] D．[－2，2] 解析：原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；当m≠2时，必须满足 解得－2＜m＜2.综上可知，实数m的取值范围是(－2，2]. 考点一　不含参数的一元二次不等式的解法 1．不等式x(2x＋7)≥－3的解集为(　　) A.(－∞，－3]∪[－，＋∞) B.[－3，－] C.(－∞，－2]∪[－，＋∞) D.[－2，－] 解析：x(2x＋7)≥－3可化为2x2＋7x＋3≥0，令2x2＋7x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝－，所以x≤－3或x≥－，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[－，＋∞). 2．不等式0<x2－x－2≤4的解集为________． 答案：{x|－2≤x<－1或2<x≤3}　 解析：原不等式等价于即解得借助数轴，如图所示， 故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}. 3．(2025·北京海淀区模拟)不等式>0的解集为________． 答案：{x|x>1或x<－2}　 解析：不等式>0等价于(x－1)·(x＋2)>0，解得x>1或x<－2，所以不等式>0的解集为{x|x>1或x<－2}． 解一元二次不等式的步骤 (1)将二次项系数化为正数； (2)计算判别式； (3)求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有根； (4)根据解的情况，结合不等号的方向画图； (5)写出不等式的解集． 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 [例1] 若a>0，解关于x的不等式ax2－2(a＋1)·x＋4<0. 解：ax2－2(a＋1)x＋4<0，即(ax－2)(x－2)<0. 因为a>0，所以不等式可化为a(x－)(x－2)<0，即(x－)(x－2)<0. (1)当>2，即0<a<1时，解不等式得2<x<； (2)当＝2，即a＝1时，不等式即为(x－2)2<0，无解，即x∈∅； (3)当<2，即a>1时，解不等式得<x<2. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|2<x<}；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为{x|<x<2}. [变式探究] 本例中，若“a>0”改为“a∈R”，再解不等式． 解：ax2－2(a＋1)x＋4<0⇒(ax－2)(x－2)<0. (1)当a＝0时，不等式可化为－2(x－2)<0，解不等式得x>2； (2)当a≠0时，不等式可化为a(x－)(x－2)<0. 若a<0，则(x－)(x－2)>0，解不等式得x<或x>2；若a>0，则(x－)(x－2)<0. ①当>2，即0<a<1时，解不等式得2<x<； ②当＝2，即a＝1时，不等式即为(x－2)2<0，无解，即x∈∅； ③当<2，即a>1时，解不等式得<x<2. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>2}；当0<a<1时，不等式的解集为 {x|2<x<}；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为{x|<x<2}． 含参不等式求解的策略 对于含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需对两根的大小进行讨论． 训练1 设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0. 解：(1)当m＝0时，－3<0恒成立； (2)当m>0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即(x＋)(x－)<0，而－<，此时不等式的解集为{x|－<x<}； (3)当m<0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即(x＋)(x－)<0，而－>，此时不等式的解集为{x|<x<－}. 综上所述，当m<0时，不等式的解集为{x|<x<－}；当m＝0时，不等式的解集为R；当m>0时，不等式的解集为{x|－<x<}． 考点三　三个“二次”之间的关系 [例2] (多选)已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是(　　) A.a<0 B.a＋b＋c>0 C.c>0 D.cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>1} 解析：根据二次函数的图象开口方向与二次不等式之间的关系可知a<0，故A正确；ax2＋bx＋c＝0的根为－1和3，则即∴a＋b＋c＝－4a>0，故B正确；c＝－3a>0，故C正确；cx2－bx＋a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0，则3x2－2x－1<0，解得－<x<1，∴cx2－bx＋a<0的解集为{x|－<x<1}，故D错误． 三个“二次”关系解题的策略 (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解． 训练2 (2025·哈尔滨模拟)已知不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式ax2＋(b－1)x－3>0的解集为(　　) A.R B．∅ C.{x|－1<x<3} D．{x|x<－1或x>3} 解析：因为不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，故a>0，且x＝－1与x＝2为方程ax2＋bx－2＝0的两根，故解得 故不等式ax2＋(b－1)x－3>0，即x2－2x－3>0，故(x－3)·(x＋1)>0，解得x<－1或x>3. 类型一　在R上的恒成立问题 [例1] (2024·济南模拟)不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C.{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 解析：当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2.综上所述，实数a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 一元二次不等式在R上恒成立的条件 训练1 (1)若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋>0对于一切实数x都成立，则实数k满足(　　) A.{k|k<} B.{k|k<－} C.{k|－<k<} D.{k|k>－} 解析：由题意得Δ＝(－k)2－4×2×<0，整理可得k2－3<0，解得－<k<. (2)(2025·常州模拟)已知不等式>2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________. 答案：[2，10)　 解析：因为x2＋x＋2＝(x＋)2＋>0，所以原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4，即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0恒成立．当k＝2时，2>0，显然成立；当k≠2时，k满足不等式组解得2<k<10.综上所述，实数k的取值范围是[2，10). 类型二　在给定区间上的恒成立问题 [例2] 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，)　 解析：要使f(x)<5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立．因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0，又m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立．令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最 小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是(－∞，). 一元二次不等式在给定区间上的 恒成立问题的两种解法 (1)讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题． (2)结合图象进行分类讨论，转化为根的分布问题． 训练2 (1)若不等式x2＋ax－1≤0对于一切x∈[1，4]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a>－} B．{a|－≤a≤0} C.{a|a>0} D．{a|a≤－} 解析：x2＋ax－1≤0，x∈[1，4]，则a≤－x＋，y1＝－x和y2＝在[1，4]上单调递减，故f(x)＝－x＋在[1，4]上单调递减，f(x)min＝f(4)＝－4＋＝－，即a≤－. (2)(2024·荆宜三校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞，] B．(－∞，3] C.(，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：方法一　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题，又f(x)>－m＋2，即mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3.当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，所以m>在x∈[1，3]上恒成立，所以m>()max，因为x∈[1，3]，当x＝1时，x2－x＋1有最小值1，此时有最大值3，所以m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞). 方法二　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题，即mx2－mx＋m－3>0在x∈[1，3]上恒成立．当m＝0时，－3>0，不符合题意；当m≠0时，设g(x)＝mx2－mx＋m－3，因为g(x)图象的对称轴方程为x＝，所以只需 解得m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞). 类型三　给定参数范围的恒成立问题 [例3] (2025·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3在0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A.[－1，3] B.(－∞，－1] C.[3，＋∞) D.(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：不等式x2＋px>4x＋p－3，可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0，0≤p≤4，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，0≤p≤4，可得∴x<－1或x>3. 含参不等式恒成立问题的思路 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数； (2)对于给定参数范围的恒成立问题，一般是把参数看作变量，把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解决问题． 训练3 已知a∈[－1，2]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为____________． 答案：(－∞，0)∪(3，＋∞)　 解析：设f(a)＝(x－2)·a＋x2－4x＋4，则即解得x<0或x>3. 类型四　不等式能成立或有解问题 [例4] (2025·武汉模拟)若∃x∈[，2]，使2x2－λx＋1<0成立，则实数λ的取值范围为________． 答案：(2，＋∞)　 解析：由2x2－λx＋1<0，可得λx>2x2＋1，因为x∈[，2]，所以λ>2x＋，根据题意，λ>(2x＋)min即可，设f(x)＝2x＋，易知f(x)在(，)上单调递减，在(，2)上单调递增，所以f(x)min＝f()＝2，所以λ>2. 不等式能成立问题的策略 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值问题： (1)若a＞f(x)能成立，则a＞f(x)min. (2)若a≤f(x)能成立，则a≤f(x)max. 训练4 设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[，＋∞) D.(－∞，] 解析：因为关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，所以a≤x＋在x∈[1，2]上有解，即a≤(x＋)max，x∈[1，2]，因为函数f(x)＝x＋在[1，2]上单调递增， 所以f(x)max＝f(2)＝，故a≤. $$