第1章 第4节 第一课时 基本不等式（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

高考总复习 数学 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第4节　基本不等式 第一课时 基本不等式 C 关键能力 进阶突破 D 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 C 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 BD 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 B 关键能力 进阶突破 A 关键能力 进阶突破 关键能力 进阶突破 请完成：课时训练（4） 温馨提示 谢谢观看！ 考点一　对基本不等式的理解及简单应用 [例1] (1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> (2)(2025·扬州期末)若a>b>1，x＝ln ，y＝(ln a＋ln b)，z＝，则(　　) A．x<z<y B．y<z<x C．z<x<y D．z<y<x 解析：(1)∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.故b>>>a. (2)由a>b>1，得ln a>ln b>0，所以(ln a＋ln b)>，即y>z.由>，得ln >ln ＝(ln a＋ln b)，即x>y.综上可得，x>y>z. 基本不等式的两个关注点 (1)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解． (2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． 训练1 (1)(2025·贵阳期末)若x∈R，则“x>0”是“≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当x>0时，由基本不等式可得x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立；当≥2时，≥0，即≥0，解得x>0.所以“x>0”是“≥2”的充要条件． (2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．≥(a>0，b>0) 解析：根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝.因为OD≥CD，所以≥(a>0，b>0).因为CD≥DE，所以≥＝(a>0，b>0). 考点二　利用基本不等式求最值 考向1　配凑法求最值 [例2] (1)已知x＞2，则函数y＝x＋的最小值是(　　) A．2 B．2＋2 C．2 D．＋2 (2)已知正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab的最大值为________． 答案：(1)D　(2)　 解析：(1)由题意可知，x－2＞0，∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x－2＝，即x＝2＋时，等号成立，∴函数y＝x＋(x＞2)的最小值为＋2. (2)正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab＝×a·4b≤×()2＝，当且仅当a＝4b，即a＝，b＝时，等号成立． 配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 训练2 (2024·眉州模拟)设b>0，ab＋b＝1，则a2b的最小值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：因为b>0，ab＋b＝1，所以b＝，所以a＋1>0，所以a2b＝＝＝a＋1＋－2≥2－2＝0，当且仅当a＋1＝，即a＝0时，等号成立，故a2b的最小值为0. 考向2　常值代换法求最值 [例3] (1)已知实数x>0，y>0满足x＋y＝xy，则x＋4y的最小值为(　　) A．8 B．9 C．7 D．10 (2)已知0<x<1，则＋的最小值是________． 答案：(1)B　(2)9　 解析：(1)将x＋y＝xy两边同时除以xy，得＋＝1，则x＋4y＝(x＋4y)·(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝2y＝3时，等号成立，故x＋4y的最小值为9. (2)由0<x<1，得1－x>0，则＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，所以＋的最小值是9. 常值代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 训练3 (2025·保定模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B．4 C． D．9 解析：因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]·(＋)＝[＋＋10]≥×(2×4＋10)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故＋的最小值为. 考向3　消元法求最值 [例4] 已知正数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则3x2＋4y2的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：根据题意可得2xy＝1－x2，因为x>0，所以y＝＝－，由y＝－>0，可得x2<1，即0<x<1，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(－)2＝4x2＋－2≥2－2＝2，当且仅当4x2＝，即x＝时，等号成立，所以3x2＋4y2的最小值为2. 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 训练4 设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 解析：由题意得z＝4x2－3xy＋y2，则＝＝≤＝1，当且仅当＝，即y＝2x>0时，等号成立．故的最大值为1. 如图，对于函数f(x)＝x＋，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞). (1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()＝＋＝2； (2)当＜a时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋； (3)当＞b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b) ＝b＋. 因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值． [例] 函数f(x)＝x2＋的最小值是________． 答案：　 解析：f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2，由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝，即当x＝0时，f(x)min＝. 训练 函数f(x)＝的值域为________． 答案：[，＋∞)　 解析：由于f(x)＝＝＝＋，令＝t，则t≥且y＝t＋. 由于y＝t＋在[1，＋∞)内单调递增，所以y＝t＋在[，＋∞)内单调递增，故当t＝时，y＝t＋取最小值＋＝. 故f(x)的值域为[，＋∞). 一、三元基本不等式的应用 1．三元基本不等式 a3＋b3＋c3≥3abc(a>0，b>0，c>0)⇒当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 2．推广 n元基本不等式：≥(a1，a2，…，an均为正实数)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． [例1] 若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则(1－a)·(1－b)(1－c)的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以0<a<1，0<b<1，0<c<1.所以(1－a)·(1－b)·(1－c)≤[]3＝()3＝，当且仅当1－a＝1－b＝1－c，即a＝b＝c＝时，原式取得最大值. 训练1 若n>0，则n＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：∵n>0，∴n＋＝＋＋≥3＝6，当且仅当＝，即n＝4时，等号成立，∴n＋的最小值为6. 训练2 (1)设x，y，z是正实数，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　　) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞) 解析：因为x，y，z是正实数，且x＋y＋z＝6，所以3≤x＋y＋z＝6，所以0<xyz≤8，所以lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 8＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立． (2)(多选)(2025·沈阳阶段练习)任取多组正数a，b，c，通过大量计算得出结论：≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．若0<m<3，根据上述结论判断m2(3－m)的值可能是(　　) A． B． C．5 D．3 解析：根据题意可得m2(3－m)＝4×m×m(3－m)≤4()3＝4，当且仅当m＝3－m，即m＝2时，等号成立．故m2(3－m)的最大值为4.从而A，C不可能取到，B，D可以取到． 二、柯西不等式的应用 1．柯西不等式二元式 形式一：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 形式二：设a，b，c，d均为正实数，则(a＋b)·(c＋d)≥(＋)2，当且仅当＝时，等号成立． 2．柯西不等式的一般形式 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当＝＝…＝时，等号成立． [例2] (1)已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值是(　　) A．16 B．64 C． D． (2)已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为________． 答案：(1)D　(2)3　 解析：(1)[(2x)2＋y2]·[()2＋32]≥(x＋3y)2，所以4x2＋y2≥16×＝，当且仅当＝，即y＝12x时，等号成立，所以4x2＋y2的最小值为. (2)(ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)＝9，所以ax＋by＋cz≤3，当且仅当a＝3x，b＝3y，c＝3z时，等号成立，所以ax＋by＋ cz的最大值为3. 训练3 已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，则ax＋by的取值范围是(　　) A．[0，2] B．[－1，1] C．[－2，2] D．[0，1] 解析：利用柯西不等式，得1＝(a2＋b2)·(x2＋y2)≥(ax＋by)2，当且仅当ay＝bx时，等号成立，解得－1≤ax＋by≤1. 训练4 根据柯西不等式可知函数f(x)＝2＋的最大值及取得最大值时x的值分别为(　　) A．， B．， C．， D．， 解析：由柯西不等式可知，(2＋)2≤(22＋12)[()2＋()2]＝5，所以2＋≤，当且仅当2＝，即x＝时，等号成立，故函数f(x)＝2＋的最大值及取得最大值时x的值分别为，. $$