精品解析：甘肃省武威市凉州区武威第八中学2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

2025年春学期高一年级期末考试试卷数学 （满分：150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（ ） A. 7 B. 7．2 C. 7．5 D. 8 3. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 0 6. 下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是（ ） A. cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B. cos 75°＝cos 45°cos（－30°）＋sin 45°sin（－30°） C. sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45° D. cos（α－）＝cos α＋sin α 7. 已知，是两个不同平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A 三点确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点可确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 11. 关于函数,下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为，最小值为 B. 的单调递增区间为 C. 的最小正周期为 D. 对称中心为 三、填空题，本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 已知向量，，则与夹角是________． 13. 已知满足，则______． 14. 如图，在正方体中，与平面所成的角等于________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 设平面向量，，函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若锐角满足，求的值． 16. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2． （Ⅰ）证明：AC⊥B1D； （Ⅱ）求三棱锥C-BDB1的体积． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）函数在上的最大值，并确定此时的值． 18. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 19. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期高一年级期末考试试卷数学 （满分：150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角函数定义求得，由即可求解 【详解】角的终边过点， ， 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的定义，正弦二倍角公式的使用，属于基础题 2. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（ ） A. 7 B. 7．2 C. 7．5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：因为，所以第80％分位数为第8个数， 故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8. 故选：D． 3. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛掷两枚质地均匀的骰子的不同结果数，再列举出向上的点数之和为4的倍数的结果数，应用古典概率的求法求概率. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果， 向上点数之和为4的倍数， 共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况， 所以概率为． 故选：B． 5. 已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求出 【详解】由向量，共线，得，解得， 当时，，与方向相同，不符合题意； 当时，，与方向相反，符合题意， 所以x值为. 故选：B 6. 下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是（ ） A. cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B. cos 75°＝cos 45°cos（－30°）＋sin 45°sin（－30°） C sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45° D. cos（α－）＝cos α＋sin α 【答案】D 【解析】 【分析】根据差角余弦公式，结合各项等式两边判断是否正确利用两角差的余弦公式化简即可. 【详解】A、B、C：利用差角余弦公式可得； D：cos（α－）＝cos α＋sin α，错误. 故选：D 7. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断ABC；由线面垂直的性质定理可判断D. 【详解】对于A，若，，则，或，故A错误； 对于B，若，，则，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 8. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则可得相关线段长，将直观图复原为原图形，即可求得答案. 【详解】由题意知，, 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，故，且, 故,故， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点可确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可： 【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误； 一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确； 如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误； 梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确； 故选：BD. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 11. 关于函数,下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为，最小值为 B. 的单调递增区间为 C. 的最小正周期为 D. 的对称中心为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数恒等变换化简，结合正弦函数的性质可求得的最值，判断A；同理结合正弦函数的单调性、周期以及对称中心可判断B，C，D.. 【详解】由题意得 ， 则最大值为，最小值为，A正确； 令，即， 故单调递增区间为，B正确； 最小正周期为，C错误； 令， 故的对称中心为，D正确， 故选：ABD. 三、填空题，本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 已知向量，，则与的夹角是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的坐标表示及向量的夹角公式即可求解． 【详解】设与的夹角为， 由， 则， 又，则， 所以与的夹角是． 故答案为：． 13. 已知满足，则______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得，利用二倍角的正余弦公式可化为齐次式，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，与平面所成的角等于________. 【答案】## 【解析】 【分析】由线面角的定义结合正方体性质即可求解. 【详解】由正方体性质可知，平面， 从而与平面所成的角为， 因为为等腰直角三角形，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 设平面向量，，函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若锐角满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简得到，再利用三角函数的性质求解； （2）由已知可得，进而得到，再利用诱导公式可得，进而利用二倍角的正弦公式可求解. 【小问1详解】 ， 由，得，故. 【小问2详解】 ，为锐角，所以， ． . 16. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2． （Ⅰ）证明：AC⊥B1D； （Ⅱ）求三棱锥C-BDB1的体积． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：(Ⅰ)要证明线线垂直，可以先证明线面垂直，然后根据线面垂直的性质定理，得到线线垂直，所以先证明平面；（Ⅱ）根据等体积转化，． 试题解析：(Ⅰ)证明：是正方体， 平面 平面 底面为正方形 平面 平面 (Ⅱ)解： 平面 是三棱锥的高 考点：1．线面垂直的判定定理；2．几何体的高． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）函数在上的最大值，并确定此时的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）只需根据图形列方程依次求出的值即可； （2），结合三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 由题图知，，则， ∴．又， ∴． ∵，∴，∴，即， ∴的解析式为． 【小问2详解】 由（1）． ∵，∴， ∴当，即时，． 18. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】（1）20 （2）平均数32.25; 第80百分位数37.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，再求出频数； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 （1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 【小问2详解】 (2) 平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】 （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 19. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小； （2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． （2）由余弦定理可知， 代入可得， 当且仅当时取等号， ∴，又， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$