(二)等比数列-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修3同步周测卷（新高考人教B版）

U 置学「人数B极】选择性必修第三面第1页〈共4页) 衡水会荐·究享最·商二同步周测花日 U 整竿（人数B版）选择性垒馋第三面蓖2页《共1页) 12.(木小题满分15分) 已知数列{a.1的首项为3，且。1十.=3·2 (1)求证：数列a.一2是等比数列： (2)求数列{4.的通项公式，并判断数列4.是否为等比数列， 置学[人数B极】选择性必婚第三面第3页《共4页) 13,木小题满分20.分) 某企业2023年的纯利挥为500万元，因企业的设备老化等因素，企业的生德力将 逐年下降.若不进行技术改造，面测从2023年开始，此后每年比上一年饨利润减少 20万元：若进行技术改造，2024年初该企业需一次性投人货金600万元，在未扣除 技术改造金的情况下，预计2024年的利洞为750万元，此后每年的科润比前一年 利润的一半还多250万元.从2024年起的第m年（以02年为第-年）.记该企业 不透行技术改造的年纯科料为：。万元，进行技术改意后，在未扣除技术改迹警金情 况下的年利润为在.万元 (1)求，和6，+ 《2)设该企业不进行技术改造的累计纯利利为A万元，进行枝术改造后的累什纯利 润为B,万元，依上述衡测，从2024年起该会业至少经过多少年，进行技术改造的黑 计纯利润将超过不进行拉术改造的累计纯刊润？ 衡水会幕·究草最·高二同步两测卷日 整竿（人数B板）选择性丝操第三面厦4页【共1页)高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第三册（二） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 (主题内容) ① ②③④⑤ 档次系数 1 选择题 等比中项 易 0.80 2 选择题 5 等比数列的前n项和 多 0.72 及性质 3 选择题 5 由等比数列前n项和 求参 √ % 0.65 4 选择题 等比数列的巧设 於 0.55 5 选择题 5 等比数列奇偶项的和 中 0.45 6 选择题 等比数列与对数运算 5 中 0.30 的综合 V 7 选择题 6 等比数列的判定 务 0.50 8 选择题 6 等比数列的应用 难 0.28 9 填空题 与等比数列有关的开 放题 中0.68 10 填空题 等比数列与平面儿何 的综合 % 0.35 11 解答题 13 等比数列的通项及前n 作 0.60 项和 12 解答题 15 等比数列的证明 中 0.40 13 解答题 20 等比数列的实际应用 中 0.30 香考誉案及解析 一、选择题 2.A【解析】由题意得S.一S,=8,所以S,=S十8 1.C【解析】设数列{aa}的公比为g,因为a:=2,a:= 4十8=12，因为S,S:一S,S,一S成等比数列，所以 8,所以a,=a:q=2g>0,且a=a2a4=16,所以 (S-S)2=S(S,-S),即8=4(S,-12),解得 a,=4.故选C. ·71 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 S=8所以爱-器-子放选八 as=a4=2i,则4=2拉 =2T=2,所以插入的第5 a:2t 3.D【解析】因为3S,=3十入，所以S=3十子因 个数是插入的第1个数的万倍，故B正确：由题得 为时1，所以8.=92=产，产。，所 M=1-92=2×1-2始)=2h-1-1 1-g 1- 1-2 1-2拉 a1= 1 1一g -1 以 ,所以文=一1，则入=一3故选D. 3 12站>41 1一2六若M4,则-1一， 1-g3 >5,即号>2油，即（停）“>2.又(g)>1.4> 4.C 【解析】根据题意设这三个数分别为a .a+aq 1.93>2,所以M>4,故C正确：由题可知N=M+3, 所以V=M+3>7,故D错误.故选ABC. 4·a·aq=27 三、填空题 (g≠0)，则 ,解得a=3,g2=9或 a 9.a。=3”-(答案不唯一，满足公比为3的数列均可) -+a2十ag=91 (g 【解析】设等比数列{a.}的公比为g,因为数列 a=3,g= 1 1 ,所以a=3,q=±3或a=3g=士 (3"一a,}为等比数列，所以(3-a:)=(3-a1)(3 a),即(3-a1g)2=(3-a1)(3-a1g),化简得 所以这三个数分别为1,3,9或一1,3，-9或9,3,1或 g一6g+9=0,解得g=3,取41=1，则a。=3-1 一9,3，一1，所以这三个数的和为13或一7.故选C. 10,8【解析】设第n个正方形的边长为a。,则第n+1 5.B【解析】因为等比数列{a}有2n十1项，所以奇 数项有n十1项，偶数项有n项，设数列{a,}的公比 个正方形的边长为a1=号。，所以士=号由 为q,又a1=1,所以所有奇数项的和为1十g十g+… +g=1十g(g十q十g十…十g-1)=85,所有偶数 题可知，=2，所以数列a是首项为2，公比为号 项的和为g十g十g+…十g-1=42,解得g=2,所 以数列(a)前2十1理的和为 的等比数列，所以a。=2· -=85+42= ()，设第个正方 127,即22+1=128，解得n=3.故选B. 形的面积为S,则数列(S)是首项为4，公比为之的 6.C【解析】由题意可得64个格子放满麦粒共需 1-2=24一1粒麦粒，因为1kg麦子大约 1-24 -()] 等比数列，所以S十S十…十S 1 200粒，所以1麦子大约2X10粒，则袋 1 3安0-得又1g器=g2”-k10=63g2-7 24 23 8[1-(侵）门=8-8·六所以当操作次数无限增 大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于8. 63×0.3-7=11.9,所以合≈10，所以放满棋盘的 四、解答题 11.解：(1)设等比数列(a。}的公比为q 64个格子所需小麦的总重量大约为10t.故选C 二、选择题 因为/0：十a=30 1S,=45 7,ABC【解析】对于A,将数列{a}中的前k项去掉， 所以/a:十a,=30 a9+a1g=30 剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数 列，故A正确：对于B,取出数列{a.}的偶数项，剩余 a十a,=15 lataq'=15 项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列，且 解得/9=2 a1=3 (4分) 公比为g,故B正确：对于C,从数列{a.}中每隔10 所以am=3·2 (6分) 项取出一项组成的新数列仍为等比数列，且公比为 g,故C正确：对于D,数列{a.}是一个无穷等比数 (2)因为6，=1 ≠0， aas+ 列，放数列品}是公比为。的等比数列，故D错视。 1 故选ABC 所以=上=a= (8分) 1 4w+2q 8.ABC 【解析】设该等比数列为{a,其公比为g,由 a.a.1 题意可知a:=1,aa=2,则q”=2,解得q=2方，所以 又6 1 1 插入的第8个数为a,=a1d=2n=√万，故A正确：插 a1a:18 入的第1个数为a:=a1q=2立，插入的第5个数为 所以数列（么）是以点为首项，十为公比的等比数 ·72· 列 (10分) 所以工， -门 则6.=50+250.（号）=500(1+六).(8分) -) (13分) (2)由题意可知A.是数列{a.}的前n项和。 所以A.=n480+500=20m2=490m-10m: 12.解：(1)由an+1十a.=3·2",得a+1=3·2"-a, (10分) 所以a+1-2+1=3·2m-a.-2+1=-(a.一2")， B.是数列{b}的前n项和减去600， (4分) 又a-2=1, 所以=00(1++1+安十…十1+) -600 所以数列{a.一2)是以1为首项，一1为公比的等比 数列. (7分) 500 =500 600=500m 2” -100, (2)由(1)可得a.-2=(-1)-1, 则a.=2十(-1)-1， (10分) 所以a1=3,a:=3,ax=9, (13分) 则B.-A.=500m 500 所以a≠1ag, (13分) 2 -100-(490n-10m)= 所以数列{a.}不是等比数列. (15分) 13.解：(1)由题意可知数列{a,}是等差数列，且a1= 10m+10m-500-100, (15分) 480,d=-20, 所以a.=500-20m. (2分) 因为函数y=10x十10x-100,y=- 0在 2 由题意得6=750,6+1=2b.十250， (0,十○)上均单调递增， 所以6.1-500=号(6，-500)， 所以函数y=10r+10z-500 (5分) 2 -100在(0，十∞)上 单调递增， (17分) 又b1-500=250, 又n∈N°，所以B.一A。单调递增， 所以数列么，-50)是首项为250，公比为号的等比 当n≤3时，B.一A。<0:当n>4时，B。一A>0, 所以该企业至少经过4年，进行技术改造的累计纯 数列 (6分) 利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.(20分) 所以6.-500=250·(）