(八)抛物线-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考人教B版）

高二同步周测卷/数学选择性必修第一册 (八)抛物线 (考试时叫40分钟，擒分100分) 一，选择盟（本题共8小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个达项中，只有一 项是符合目要求的) ,抛物线y=4的焦点坐标是 A.《1,0) B(2,0) co,-周 D.(o-1) 2,下列地物线中，开口最小的是 人- 段y- C,y-2 D.v-4z 3已知点（不y)在抛将线y=r上，则=r++3的最小值基 A.0 且2 C.3 D.4 .在同一坐标系中，方程影+言-1与十分-0>6>0)表示的角线大致是 D. 5.妇图，一醒道内设双行线公异，其载面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求 行驶车铜顶部（设为平顶）与隧道质富在经直方向上的高度之差至少终有.5m已 知行车道总宽度AB一8m,则有辆通过硅道的限别高度为 A.2.25m 且2.5m C.3.25m D,3,5m 6已知揽物线y=2x(p>)的淮线为，焦点为F.点AB在抛物线上·点C在/上， 且AF-AF万，A序-uBC,若A-3,则实数4 A.1 且2 C.3 D.5 数举[人般日版】选桶性多修第一面第1面（其4页） 而水金卷·先度循· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 圈目要求。全器选对的得6分，器分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知推物找C的焦点在直线x一2y+3=0上，则撒物缓C的标准方程为 A.y=12r B.y2=-121 C.r--6y D.子=6y :.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对 称轴的方向射出：反之，平行丁抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线 的焦点.已知物线y=:的点为F,D为条标原点，一束平行于x轴的光线从 点P(m,n》(4m》射人，经过抛物线上的点A(工1，反射后，博经抛物线上另 点(，为)反射后，沿直线射出，谢下列结论正确的是 AI B点A关于x轴对称的点在直级：上 C.直线与直线x=一1相交于点D,则A,O.D三点其线 )直线1与：问距离的最小值为4 班级 姓名 分数 题号 1 2 1 4 6 答案 三，填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.点Mf(一4,0)到抛物线yY-一2r的准线的距商为 10,已知M是抛物线x一4y上一点，F为其热点，点A在图C:x+1)+y一8一1 上，则MA十MF的最小值是 网、解答题（本圈共3小题，共8分，解容应写出必要的文学说明证明过程域资算步漫） 11.(本小题牌分13分) 已知抛物线Cy一8r的焦点为F,A,B是抛物线C上的两点 (1)若1AF一5，求点A的坐标： (2)若线段AB的中点为N(6,41,求直线AB的方程， 商二网步周测蓉八 数学（人教B版引塔性多榜第一期第全直共4西） 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 已知平面直角坐标系内的动点P(:,y)量满足：点P到定点F(1,)的臣离与它到定 已知抛物线C:y一2p>)上的两点A(功)，（为）均异于坐标原点O, 直线十1=D的距离相等，记幼点P的轨连为由线C. 且0A·O8=D (1)求曲线C的方程： (1)求证=4女且1为=-4p: (2)若点Q滴足P反一9QF,0为坐标原点，求直线(Q斜率的最大值 〔2)试问直线AB是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标：若不过定点，请说明 理由， 数举人粮日版】选桶性必修第一图氟3面（典4页） 而水金卷·先摩丽·高二司步周测卷八 数学（人教B版」塔福性必榜第一导第（直（其4页）高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（八） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建摸 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) N V ① ②③ ④ ⑥ 档次系数 1 选择题 求抛物线的焦点坐标 易 0.80 2 选择题 5 抛物线的开口大小 易 0.72 3 利用抛物线上点的范 选择题 5 易 0.70 围求最值 椭圆与抛物线图象的 4 选择题 0.55 识别 务 选择题 5 抛物线的实际应用 中 0.45 6 选择题 5 抛物线与向量的综合 0.30 由抛物线的焦点求 7 选择题 6 易 0.75 方程 8 选择题 6 抛物线的光学性质 难 0.28 9 填空题 点到抛物线的准线的 易 0.71 距离 10 利用抛物线的性质求 填空题 农 0.45 最值 利用抛物线的标准方 11 解答题 3 程求点的坐标及中点 中0.60 弦问题 利用抛物线的定义求 12 解答题 15 轨迹方程，利用基本不 中0.45 等式求参数最大值 向量与抛物线的综合， 13 解答题 20 0.30 直线过定点问题 务 ·35· ·数学（人教B版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考管案及解析 一、选择题 作AD⊥1，BE⊥1，垂足分别为D,E,则|AD=|AF, 1.D【解析】抛物线方程可转化为=子y,故焦点在 |BE1=|BFI,所以IAD|=3|BE|,又Rt△ACD y轴正半轴上，又2p=子，故焦点坐标为(0，人，故 R△CE.则=器-子所以AB皮C 选D, =3,所以=2，即=2成，故以=2故选B 2.A【解析】对于抛物线的标准方程，若一次项的系数 二、选择题 的绝对值越小，则抛物线的开口越小，四个选项中，A 7.BD 【解析】易知直线x一2y十3=0与坐标轴的交 选项的抛物线y=号：的一次项系数的绝对值最 点分别为(-3,0)(0,2)，当焦点为(-3,0)时， 小.故选A 3,C【解析】因为点(x,y)在抛物线y2=4x上，所以 可知抛物线方程为y=一12x:当焦点为(0，号)时， y=4x,≥0，则=r+合y+3=f+2a+3=十 可知抛物线方程为x=6y.故选BD. 8.ACD【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB 1)2十2，所以当x=0时，x最小，最小值为3.故选C. 过抛物线的焦点F(1,0),设直线AB的方程为x= D【解折】由a>b>0,知方程号+若 =1表示焦点 +1,联立得一y-4=04 在y轴上的椭圆，由ax+by=0,得y=一无x,因为 16(P+1)>0,所以yy=-4,y十y=4t,所以 一合<0，所以方程ax十b6y=0表示焦点在x轴上 =兰.平=1，故A正确：若点A(国)关于z 轴对称的点在直线4上，则y=一，所以|y|= 且开口向左的抛物线.故选D. |为【=2，即|n|=2,不一定成立，故不合题意，故B 5.C【解析】取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴， 错误：直线：与直线x=一1相交于点D(一1，y:), 建立如图所示的平面直角坐标系， 所以直线OD的斜率为kw=一y,又直线OA的斜 4 率kat=兰=兰=4=一为，所以=k如m,所以A, yi y O,D三点共线，故C正确：直线4与2间的距离d= |M一3y|=W√(y+y)-4y1y9=√/16t+16≥4， 当t=0时，d取最小值4，故D正确.枚选ACD. 则A(-3,一6)，B(3,一6)，C(4,一4)，设抛物线的 方程为x=一2py(p>0),将C(4-4)代人抛物线 方程，得16=8p,解得p=2,∴.抛物线的方程为x2= 一4y,将x=3代人抛物线方程，解得y=一2.25， ∴.车辆通过隧道的限制高度为6-2.25一0.5=3.25m 故选C. 6.B【解析】由题设知A,F,B,C四点共线，且AF 三、填空题 3FB,如图， 9.号【解析】抛物线y=一2x的准线方程为x=合，点 一40)到直线=子的跑离为-4引=号 10.6【解析】抛物线x=4y的准线方程为y=一1，根 据圆C的方程得圆心C的坐标为（一1,6），半径， =1,如图所示， ·36. 当y=0时，ka=0: (10分) 当%≠0时，ko=10 25%+ y 当>0时，25+是≥2√25·=30， 当且仅当25=是，即头=子时等号成立 .1 过点M作MP垂直于抛物线的准线于点P,根据抛 此时0<ko≤3t (13分) 物线的性质得IMA|+IMF|=IMA|+IMP|, 当<0时，ko<0. (14分) 当A,M,P三点共线，且点A在线段CM上时， IMA|+|MF|取得最小值，最小值为6+1一1 综上，直线0Q斜率的最大值为子 (15分) =6. 13.解：(1)因为0A.0i=0, 四、解答题 所以x1x十y3=0, 11.解：设A(,y),B(x,y) 所以x1z=一yy·① (4分) (1)由抛物线的定义可知，|AF|=五十号=五+2 因为=2p y=2pr: =5, 解得x1=3, (3分) 所以(y边)=4p(x1x:),② 由①②得，y1=-4p2,1=4p (8分) 将x1=3代人y2=8x,得y=±2√6， (4分) 所以点A的坐标为(3，土26). (5分) (2)因为/y=2p y哈=2px (2)因为线段AB的中点为N(6,4), 所以(y1-y)(y1十y2)=2p(x1-). (11分) 所以十x=12,y1十g=8, (7分) 当直线AB的斜率存在且不为0时，工≠x·y≠ 又/=8z 一ygt lyi=8x: 两式相减，得当二业=8 所以km=二业=2p =1 1一y十y2 (9分) I1一x:yL十yg 所以直线AB的斜率为kB=》二兰=1， 所以直线AB的方程为y一=，P y1+y: (xx) II-I: (14分) 所以直线AB的方程为y一4=1×(x-6), 即x-y-2=0. (13分) 所以y=,单 y十y r十y1一 2px=2p 干yy1+: y干y 12,解：(1)由题及抛物线的定义可知，点P的轨迹为以 4p2 =2p.(x-2p), F(1,0)为焦点，准线方程为x十1=0的抛物线， 2p一+y十 y1十y 所以曲线C的方程为y2=4缸. (5分) 所以直线AB过定点(2p,0). (17分) (2)设Q(y),则P0=9QF=(9-9x,-9y), 当直线AB的斜率不存在时，x=>0, 所以P(10.x。-9,10y), (7分) 所以x1=x:=2p, 由点P在曲线C上，得(10y)=4(10-9), 此时直线AB的方程为x=2P, 即=25y+9 所以直线AB过点(2p,0). 10 综上所述，直线AB过定点(2p,0). (20分) 所以直线OQ的斜率km=兰= 25+9 10 106 25y%+9' (9分)