(三)空间向量与立体几何综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考人教B版）

高二同步周测卷/数学选择性必修第一册 (三]空间向量与立体几何综合 (考试时叫40分钟，满分100分》 一，选择盟（本题共8小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个达项中，只有一 项是符合题目要求的) L已知直线m的方向向量为a=(1,一2,1).平面a的法向量为6=《，8，y1,若刚∥a· 知x十y A.10 钱12 C,14 D.1 2.已知a,b,c是空间中两两垂直的单位向量，则3a十b一2e A./14 线14 .v2 .2 a.在用面体O4BC中.Oi-a,O店-b,-c.i-42(a>0).N为BC的中点，若 M不=一4++，期 A.3 2 n 4,已知正方体ACD-A'BCD的棱长为1，以D为痕点，Di,D心，DD的方向分别为 F维.y轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平顶A'内的是 A(层景引 得 c(侵》 D{1,2 5.在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD-AM,=2,∠BAD-三，∠BAA- ∠DAA:=号，则AG= A.25 &5 C.20 ).25 6.如需，在楼锥P-ABC中，PA⊥平面AC,∠BAC=,D.E.N分别为PA,PC, BC的中点，点M是AD的中点.PA=AC=2AB=4,则直线MN到平面BDE的距 真为 A号 R号 c号 数学（人航日版】选择性多修第一智第1面《韩4氧） 衡水金卷·先度通 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的透项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知4，，是空司的一个单位正交基底，则下别结论正确的是 A.a+e 我.a一b,b十c,a十c1构成空判的一个基底 C.(a十b),a+c)=1 D{a一，b+e,a一e构成空间的一个基底 8.布达粼斯的伊帕修峰保带博物馆收战的达·芬青方砖是在正大边彩上两了具有规觉 效果的正方体困案，如用1，把三片这样的达·芽希方砖讲成周2的组合，这个组合 库转换成谢3所示的空何间几问体，若图3中每个正方体的棱长均为1，则下列逆法正 确的是 A点C,到直线cQ的距离是受 我C百--2Ai-Ai+2AA C.平画ECG与平面C,D所成角的余弦值为 D.异面直线CQ与BD所成角的正切值为7 班级 性名 分数 驱号 2 4 8 答鲨 三，填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） B.已知A.B,C三点共线，若对空间任一点O.0Oi=2O店十m.则4- 若存 在三个不为0的实数2·m,m,使10十wO店+n=非，剩1十m十= .(本 题第一空2分，第二空3分) 10.在三棱能A一BCD中，△ABD和△BCD均是边长为2的正三角形，且平面ABD1 平面BCD,P是使BD上一点，点Q是三棱锥A一PCD外接球上一动点，当△PAC 的周长最小时，Q的最小值为 高二网步周制鞋三 数学（人教B版」塔福性必榜第一导第空直（其（西） 四，解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明正明过程或演算步露） 13.(本小题满分20分) 11.(本小题牌分13分) 在如图所示的试验装置中，两个正方形框果ABD,ABEF的边长都是1，且它门所 如图，在棱长为2的正方体ABCD-ACD中，E,F分别是AD,CC的中点 在的平面互相垂直，活动弹子M,N分别在正方形对角线A(C,BF上移动，且CM, (1》求点B到直线DE的距离： BN的长度保挎相等，记CM一BN一e(0<g<泛， (2)求点B到平面DEF的距高 (1)证明：MN∥平面CBE: (2)背为何值时，MN的长最小？ (3)当MV的长最小时，求直线AM与平面MNB所成角的正弦值. 12.(本小图请分15分) 杭州第19届运动会罪幕式现场，在AR技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升 俺而起，溢闲整个大莲花场前，腺汇为点点星河流向远方，绘就了一解万家灯火的美 好图量.灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传锐工艺品，经过数千年的发展，灯 境也发晨出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯毫器其有独特的艺 表现形式.现将一个图桂形的灯笼切开，如图所示，平面B℃品为国柱的轴截面， BC是置柱底面的直径，O为底面圆心，E为棱CC,的中点，AA,为一条母线.AB= AC=A4,=4, (1求证：平面AE0L平面ABO (2)求平面A0与平面AEB,所成角的余数值， 数举人般日版】选桶性必修第一面第3面（典4氨） 衡水金参·先摩·商二网步周测卷国 数学（人教B版」燃福性必修第一导第直（其（西）高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) I 瓜 W V ① ② ③ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由线面平行求参 易 0.80 2 选择题 求向量的模长 易 0.72 选择题 利用向量的运算求参 易 0.70 选择题 利用空间向量判断四 5 中0.55 点共面 5 选择题 利用向量的运算求线 5 0.45 段长 6 选择题 5 求直线到平面的距离 0.30 选择题 6 基底的概念 易 0.70 8 选择题 6 利用空间向量解决距 的 0.35 离、夹角问题 9 填空题 5 由三点共线求参 易 0.71 10 填空題 利用空间向量求线段 长度的最小值 中 0.45 11 解答题 13 利用空间向量求点到 直线、点到面的距离 % 0.60 利用空间向量证明面 12 解答题 15 面垂直，求二面角的余 √ 中 0.30 弦值 利用空间向量证明线 13 解答题 20 面平行，求线面角的正 √ 难 0.28 弦值 ·11· ·数学（人教B版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 1,D【解析】因为m∥a,所以a⊥b,所以a·b=x一2 o5音+2X2×cos受）=20，所以AC1=2v5.故 ×8+y=0,整理得x一16十y=0,即x十y=16.故 选A 选D 2.A【解析】由题意得a=b=|c=1,a·b a·c=b·c=0,所以|3a+b-2c|=√/(3a+b-2e)7 =V√9a+b+4c+6a·b-12a·c-4b·c D √⑨+1+4=14.故选A. 3.D【解析】根据题意，利用空间向量的运算法则，可 得M-0-oi=专oi+d)-产耐- 6.D【解析】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA 1 ⊥AC,又因为∠BAC=受，所以AB⊥AC.所以以A 所以产：子，解得=令故选 为原点，AB,AC,AP的方向分别为x轴、y轴、轴正 方向建立如图所示的空间直角坐标系， 4,B【解析】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， D 由题意可知B(2,0,0),D(0,0,2),E(0,2,2), 则A'(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),所以BA= M(0,0,1),V(1,2,0),则D求=(0,2,0).Di= (0,-1,1),BC=(-1,0,1),设点P(.x,y,x)在平 (2,0,-2).M=(1,2,-1),Mj=(0,0,1).设平 面A'BC‘内，则由共面向量定理得，存在唯一的有序 面BDE的法向量为n=(x,y,),则 实数对（入，r),使B范=ABA产+4BC产，所以 n·DE-2y=0 x-1=λ·0十以·(-1)=-4 x=1一4 n…Di=2r-2=0令=1，得x=1y=0,所以 y-1=A·(-1)+a·0=-A,即y=1-入，对于A n=(1,0,1),因为MN·n=0,所以MN⊥m,又MN 2=A·1十4·1=λ十4 =入十以 在平面BDE,所以MN∥平面BDE,所以直线MN 项，代入点坐标（号，号，号），无解，放八错误：对于 到平面BDE的距离即为点M到平面BDE的距离， 所以直线MN到平面BDE的距离为M市·n=是 B项，代入点坐标（俘，是，专），可解出 √2 ,故B =4 一号散选D 正确：对于C项，代人点坐标（侵，，），无解，故 二、选择题 7,ACD【解析】由题意得|a=|b|=|c=1,a·b C错误：对于D项，代人点坐标（一1.三1），无解，放 =a·c=b·c=0.对于A项.|a+b|=√2|c|=√2. D错误.故选B. 故A正确：对于B项，因为a一b+b十c=a十c,所以 5.A【解析】由题意可得AC=(AB+AD+AA) {a一b.b+ca十c}不能构成空间的一个基底，故B 错误：对于C项，(a十b)·(a十c)=a=1.故C正 =AB+AD+AA+2(AB·AD+AB·AA+ 确：对于D项，因为不存在唯一的实数对(x,y),使 A市.AA)=4+4+4+2×(2×2×c0s受+2x2× 得x(a-b)十y(b十c)=a-c,所以{a一b,b十c,a- c}构成空间的一个基底.故D正确.故选ACD. ·12 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第一册· 8.BCD【解析】由题意可知C=C店+BO=-AD+ 中点，即PA⊥BD,PC⊥BD, 2BA--AD+2 (AA-AB)=-2 AB-AD+ 2AA,故B正确：以A:为原点，AF,AB,AA的 方向分别为x轴，y轴、：轴正方向建立如图所示的空 间直角坐标系， 又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面 BCD=BD,APC平面ABD,所以AP⊥平面BCD, 因为PCC平面BCD,所以AP⊥PC,因为AP=PC E =√，PD=1,所以三棱锥A一PCD的外接球为图 则C(-1,1.0),Q(0,-1,1),C(-1,1,-1),E(1, 中右侧长方体的外接球，且该长方体的长、宽、高分 -1,-1),G(-1,-1,1),B(0.1,-1),D(-1,0, -1).所以QC=(-1,2,-1).C0=(1,-2,2) 别为3,13，所以外接球的半径R=3+3+巨 2 EC=(-2,2,0).EG=(-2,0,2),BD=(-1,-1. 牙以P为原点，P成，P心.Pi的方向分别为r箱y 0),BC=(-1,0,1).点C到直线CQ的距离d 轴、：轴正方向建立如图所示的空何直角坐标系， √尿--(-故 A错误：设平面ECG的法向量为n:=(x·,), 则m·武-2n+2%=0 n:花--2+2=0令=1，得=1， =1,则n=(1,1,1),设平面BCD的法向量为 n:=(必，)，则 :·Bi=一一为=0 令 m·BC=-x十=0 =一1，得y=1.=一1，则n:=(一1,1，一1)，设 可知球心0-合，号号），B1.00).则101- 平而ECG与平面BC,D所成的角为0，则cos0= 1@m>-情-分，放C正确：设异面 √--)+()+（）-，所以 直线CQ与BD所成的角为a,则co5a eC范，d1=1C克. |B1m=B0-R=石=1 1 2 CQBDI √1+4十4×√2 四、解答题 号所以m。-V厅，放D正确，放连以D 11.解：1)以D为原点，DA,D心，DD的方向分别为x 轴、y轴、：轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 三、填空题 标系， 9.一10【解析】：A,B,C三点共线，OA=2OB+ 21 z0C.∴.2+=1∴=-1，：xOi+mOi+n0C =00耐=-兴oi-元.又“A,B.C三点共 B 线-是-是-1+m叶n=0. 10.正-五【解折】知图，△PAC的周长为PA十 D 2 PC+AC,其中AC为定值，PA=PC,则当PA取最 小值时，△PAC的周长最小，明显此时P为BD的 ·13. ·数学（人教B版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 则D1(0,0,2),E(2,1,0),B1(2,2,2),F(0,2.1), 由(1)知平面AEO的一个法向量为B,O 所以D,E=(2,1,-2).B,E=(0,-1,-2).DF (-2,2,-4), (10分) (0,2,-1), (3分) 设平面AEB:的法向量为n=(x,y,x), 所以点B到直线DE的距离为 则·花-4+2：=0 VB御：- BE·DE n·BA=-4x-42=0 DEI =5-1=2. (7分) 令x=2,得y=1,x=-2, (2)设平面DEF的法向量为n=(x,y), 则n=(2,1,-2) (13分) n·D,E=2x+y-2:=0 设平面AEO与平面AEB,所成的角为0， 则 n·DF=2y-:=0 所以cos0=|cos(n.Bd1=n,BO 令y=2,得x=3,=4.则n=(3,2,4). (10分) |n·B,O 所以点B,到平面D,EF的距离为B:ml 6 n 5×√②丽 6 -1×2-2×4⊥1029 所以平面AEO与平面AEB:所成角的余弦值为 (13分) √3+2+ 29 12.解：(1)因为BC是圆柱底面的直径， 6 (15分) 所以AB⊥AC, 13.解：(1)因为四边形ABCD,ABEF均为正方形， 所以BC=√AB+AC=4√2，OA=OB=2√2， 所以BC⊥BA,BA⊥BE, 又平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面 B,O=√/BB+B)=26, ABEF=BA,BCC平面ABCD, 因为AA⊥平面AB,C1,所以AA⊥A:B,· 所以BC⊥平面ABEF, 所以AB,=√AA+AB所=4V2, 又BEC平面ABEF,所以BC⊥BE, (3分) 因为BO+OA8=AB群， 所以以B为原点，BA,BE,BC的方向分别为x轴y 所以B,O⊥OA, (3分) 轴，产轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 又E为CC,的中点， 所以OE=√0C+CE=23, B,E=√BC+CE=6, 则B①+OE=BE, 所以B OLOE, (5分) 又OE∩OA=O.OE,OAC平面AEO. 所以BO⊥平面AEO, 因为B,OC平面AB,O, 所以平面AEO⊥平面AB,O (7分) (2)由题意可知AA⊥平面ABC,AB⊥AC, 则A(1,0,0),B(0,0,0), 以A为原点，AB,AC,AA的方向分别为x轴、y轴、 因为CM=BN=a, :轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以M(停01-a)N停。o小 则m时-(o.号号。- 易知平面CBE的一个法向量为BA=(1,0,0), 所以.i-(b.号.号。-·1,0.0)=0 所以MN⊥BA, (6分) 又MN丈平面CBE, 则A(0,0,0),E(0,4,2),B(4,0,4),O(2,2,0) 所以MN∥平而CBE. (8分) 所以AE=(0,4,2),B,A=(-4,0,-4). (2)由)可得1M1-√+（停。-1） ·14· 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第一册· -a+i=√(a-号)+，其中0<a 则 <②， …时=2+安y=0 当。-号时，最小，最小值为号 (13分) 取x=1,得y=-1,=-1,则n=(1,-1,-1), (17分) 8)由2)可知，当MN的长最小时，M(受0，受) 设直线AM与平面MNB所成的角为8， N(2o) 则in0=cos(AM,>1= AM·n=6 |AM·|n3 则成-(-0，)丽i=(位，0,2)成 所以直线AM与平面MNB所成角的正弦值为， 3 (2号0) (15分) (20分) 设平面MNB的法向量为n=(x,y,z) ·15·