专题08 与线段计算有关的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题08 与线段计算有关的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段和差计算问题 类型二、线段中点有关的计算问题 类型三、n等分点有关的计算问题 类型四、线段之间的数量关系 压轴专练 类型一、线段和差计算问题 例1．（注意分类讨论）如图，已知线段，点C为上一点且，点P是的中点． (1)求的长度； (2)点D是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1)6 (2)1或13 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出的长，再根据线段中点的定义求解即可； （2）分点在点的左边时，点在点的右边时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点P是的中点， ； （2）解：如图，当点在点的左边时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在点的右边时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为1或13． 变式1-1．如图，已知点在线段上，，． (1)求和的长； (2)线段在线段上移动（点在点左侧），且． ①若点为的中点，试通过计算说明； ②若点在线段上，，求的长．（先借助备用图画出图形，再写计算过程） 【答案】(1)， (2)①见解析；②的长为或 【分析】本题考查线段的和差，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据，即可求解； （2）①根据线段的和差关系求出，的长度，即可证明；②分点在点右侧与左侧两种情况，根据线段的和差关系及中点的定义分别计算即可． 【详解】（1）解： ，， ，； （2）解：①如图所示． 点为的中点， ， ， ， ， ， ； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点在点右侧时， ， ， ， ， ， ； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ， ， ， ， ，； 综上所述，的长为或． 变式1-2．已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 【答案】(1)①；②； (2)8或4 【分析】（1）①本题考查了线段的和差，解题的关键是根据平方非负性求出a，b得值；②本题考查了线段得和差，解题的关键是正确画图，注意两种情况； （2）本题考查了线段的和差，解题的关键是正确画图，注意两张情况． 【详解】（1）解：， ， ， ①当D点与B点重合时， ； ②如下图1， 分别为线段的中点， ， ； 如上图2，分别为线段的中点， ， ； （2）如下图， 由题意得： ， ； 如下图， ， ． 变式1-3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵，∴， ∴，∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴，∴； 综上所述：或1． 类型二、线段中点有关的计算问题 例2．如图，点A，B在直线上，点在直线外． (1)连接，作射线； (2)尺规作图：点C，D在直线上，且点C在点A的左侧，使得；点D在点B的右侧，使得； (3)在（2）的条件下，若，，点M，N分别为线段，的中点，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查作图一复杂作图，直线，射线，线段，两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段，射线的定义画图即可． （2）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，在点的左侧交直线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，如图所示，点C、D为所求； （3）由中点的定义可得，，则，再根据可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段、射线为所求； （2）解：如图所示，点C、D为所求； （3）解：∵点M，N分别为线段，的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 变式2-1．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可； （2）由，可得，，然后根据求解即可； （3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 变式2-2．如图，点在线段上，点M，N分别是，的中点． （1）若，，则线段的长为____________； （2）若，，则线段的长为____________； （3）若，求线段的长度； （4）若点为线段上任意一点，且，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论． 【拓展提问】若将例题中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），描述见解析；【拓展提问】成立，理由见解析 【分析】（1）根据中点性质，，，得到，，得到； （2）根据中点性质，，，，，得到； （3）根据中点性质，得到，，根据，得到； （4）猜想，结论：若点为线段一点，且点上分别是，的中点，则； 拓展提问：当点在线段的延长线上时， 根据中点性质，得到，．根据，得到． 【详解】（1）∵点M，N分别是，的中点，，， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵点M，N分别是，的中点，，， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵点M，N分别是，的中点， ∴，， ∵，， ∴； （4）猜想：； 结论：若点为线段上一点，且点分别是，的中点，则； 【拓展提问】成立．理由： 当点在线段的延长线上时，如图， ∵点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的中点，线段的和差．熟练掌握中点性质，线段的和差关系，是解决问题的关键． 变式2-3．如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 【答案】(1)①10，②见解析 (2)不成立，见解析 【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证； （2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴； ②∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不成立； ∵M、N分别为、的中点， ∴， ①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： 或 ； ②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图： 或 ； ③当点在点的左侧时，如图： 或 ； 综上：或；故结论不成立． 【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论． 类型三、n等分点有关的计算问题 例3．如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm． 【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可． 【详解】解：（1）图形补充完整如图， ∵CB＝AB， ∴CA＝， ， 故答案为：； （2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒， cm，cm， ， ②当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， cm， 运动时间为：18÷3=6（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， 运动时间为：36÷3=12（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 综上，MN的长是12cm或24cm． 【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． 变式3-1．在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 变式3-2．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，线段，若在直线上存在一点M使得，求线段的长． 【答案】22或18 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差倍分，正确的理解题意是解题的关键，注意分类讨论． 本题分两种情况：点M在点A左侧，点M在点A右侧，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，且； ∴，， ∵， 若点在点左侧，则；解得：， 若点在点右侧，则 ；解得：， 综上所述，线段的长为22或18． 变式3-3．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6； （2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a； ②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a； ③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a． 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=4，CN=BC=2， ∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； 故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a， 故答案为：a． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 类型四、线段之间的数量关系 例4．已知，点为线段的中点．    (1)如图1，若，点为线段的中点，则________； (2)如图2，若点在线段上，且，求的值； (3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)3；(2)或；(3)或 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握中点的定义，数形结合． （1）根据线段中点定义，数形结合，进行计算即可； （2）分两种情况进行讨论：当点E在点D的左侧时，当点E在点D的右侧时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论：当点E在线段的延长线上时，当点E在线段上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：3． （2）解：∵点为线段的中点， ∴， 设，则 当点E在点D的左侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 当点E在点D的右侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 综上分析可知，或． （3）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 当点E在线段的延长线上时，如图所示：    此时； 当点E在线段上时，如图所示：    此时． 综上分析可知，或． 变式4--1．已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． （1）①根据中点定义求得的长度，根据，即可求解； ②设，则，根据，求解即可； （2）分当点在点的右侧时和左侧两种情况，讨论即可求解； 【详解】（1）解：①是线段的中点 ， 又， ， ②设，则， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据题意，当点在点的左侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， 则， 则， ， ， ； 根据题意，当点在点的右侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， 则 综上所述，或 变式4-2．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长； (2)若，，请直接写出与存在的数量关系． 【答案】(1)①；②的长为或 (2)或或或 【分析】本题考查了两点间的距离，比较难，需要仔细思考和解答． （1）根据已知条件得到，， ①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到； ②如图1，当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论； （2）分点E在点C右侧，点D在点E左右两侧，点E在点C左侧，点D在点E左右两侧共四种情况，分别讨论可得． 【详解】（1）解：，， ，， ①为中点， ， ， ， ； ②如图1， 当点F在点C的右侧时， ， ， ， ； 当点F在点C的左侧时， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． （2）解：①点E在点C右侧，点D在点E左侧时， 如图3所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点E在点C右侧，点D在点E右侧时，如图4所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ③点E在点C左侧，点D在点E左侧时，如图5所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ④点E在点C左侧，点D在点E右侧时，如图6所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或或或． 变式4-3．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    1．如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律，是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动n次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，再推出的中点表示的数为9，即可解答． 【详解】∵数轴上O，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为， ∵点A表示的数为12，表示的数为6， ∴的中点表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离为， ， 故选：B． 2．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值． 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， …… 由此可得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键． 3．如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了中点的定义，三等分点，线段的和差，根据三等分点及可得，进而可得，得到，即可判断①；进而可得，得到，再根据中点的定义得到，即得，即可判断②；由可得，据此可判断③；由，进而可判断④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的三等分点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有②④，故答案为：②④． 4．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 5．已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点，分类讨论，即点在B点左边或者右边，两种情况，用线段的和差进行解答即可，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【详解】解：如图，当点在B点左边时， 点 M是线段的中点， ， ， ， 厘米， 厘米； 如图，当点在B点右边时， 利用上述原理可得 厘米， 厘米， 综上所述，或厘米， 故答案为：或． 6．如图，已知线段a、b． (1)请用尺规按要求作图，作线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若点C为上的任意一点，点D为的中点，点E为的中点，请补全图形，并求的长； (3)若（2）条件中“点E为的中点”改为“点E为的中点”，直接写出与、的数量关系和理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了线段和的尺规作图，线段中点的定义； （1）作一条以A为端点的射线，以A为圆心，的长为半径画弧，连续截取两次，再按同样的作法顺次截取线段，即可求解； （2）由线段的中点可得，，再由即可求解； （3）由线段的中点可得，，再由即可求解； 掌握线段的作法，根据题意用线段的和差表示线段，能利用线段中点的定义进行线段的等量转换是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作的线段； （2）解：如图   为的中点， ， 为的中点， ， ， ∴． （3）如图所示， ∵点E为的中点 ∴， 为的中点， ， ∴． 7．如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 【答案】(1)16 (2) (3)有变化，4 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握线段间的数量关系． （1）根据线段间的数量关系，求出，，然后求出结果即可； （2）根据线段间的数量关系进行解答即可； （3）先求出，再求出，根据线段间的数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：有变化． 理由如下：当C点在的延长线时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长度有变化． 8．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)； (2)；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)当时点是线段的中点 (3)或1 【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求； （2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解； （3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵点表示，点表示7， ∴， ∴ ∴． （2）解：∵点，分别表示，6， 所以，，，，， 当是的中点时，即， ∴当时点是线段的中点． （3）解：①当点在线段上时，如图 ∵， 又∵ ∴， 又∵ ∴，即 ②当点在线段的延长线上时，如图 ∵，又∵ ∴，即 综上所述或1． 【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系． 10．如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 【答案】(1)12；6 (2)或12 (3)或或1 【分析】（1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，此时 ，当点与点重合时，，此时 根据，得，解答即可． （3）分点Q在上，上，点的左侧，点的右侧，结合，分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12，6． （2）解：∵动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为， 得，，此时 ， 当点与点重合时，，此时， 解得， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 都符合题意， 故当为或时，． （3）解：当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 此时或； 当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得（舍去）或， 此时； 当点Q在点左侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时； 当点Q在点右侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时． 综上所述，的值为或或1． 故答案为：或或1． 【点睛】本题考查了线段的和差倍分的计算，绝对值的应用，运动问题，分类思想，有理数的计算，熟练掌握线段的关系，绝对值的计算是解题的关键． 11．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可； （2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ，， 如图， 为中点， ， ， ； ②如图， ， 点在点的左侧， 点是的中点， ， ， ； 当点在点的右侧，如图 ，， ， ， （不合题意，舍去）， 综上所述，的长为； （2），，满足关系式， 如图，当在点的右侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ； 如图，当在点的左侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ． 故答案为是或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键． 12．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有______条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． 【答案】（1）①8；②9；（2）；（3）5 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题： （1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在点D右侧三种情况讨论求解即可； （2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到，，根据，推出，则；如图所示，当点B在点C右侧时，由线段中点的定义得到，，根据．推出则； （3）由中点的定义得到，，求出，则，再由，推出，则． 【详解】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线， 故答案为：8； ②∵，，， ∴， 如图所示，当点P在点A左侧时（包括A）， 如图所示，当点P在A、D之间时，， 如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），； 综上所述，的最大值为9； 故答案为：9； （2），理由如下： 如图所示，当点B在点C左边时， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴ ， ， ∴； 如图所示，当点B在点C右侧时， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴ ， ， ∴； 综上所述，； （3）∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 与线段计算有关的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段和差计算问题 类型二、线段中点有关的计算问题 类型三、n等分点有关的计算问题 类型四、线段之间的数量关系 压轴专练 类型一、线段和差计算问题 例1．（注意分类讨论）如图，已知线段，点C为上一点且，点P是的中点． (1)求的长度； (2)点D是直线上一点，且，求的长． 变式1-1．如图，已知点在线段上，，． (1)求和的长； (2)线段在线段上移动（点在点左侧），且． ①若点为的中点，试通过计算说明； ②若点在线段上，，求的长．（先借助备用图画出图形，再写计算过程） 变式1-2．已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 变式1-3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 类型二、线段中点有关的计算问题 例2．如图，点A，B在直线上，点在直线外． (1)连接，作射线； (2)尺规作图：点C，D在直线上，且点C在点A的左侧，使得；点D在点B的右侧，使得； (3)在（2）的条件下，若，，点M，N分别为线段，的中点，求线段的长度． 变式2-1．已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 变式2-2．如图，点在线段上，点M，N分别是，的中点． （1）若，，则线段的长为____________； （2）若，，则线段的长为____________； （3）若，求线段的长度； （4）若点为线段上任意一点，且，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论． 【拓展提问】若将例题中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 变式2-3．如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 类型三、n等分点有关的计算问题 例3．如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 变式3-1．在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 变式3-2．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，线段，若在直线上存在一点M使得，求线段的长． 变式3-3．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 类型四、线段之间的数量关系 例4．已知，点为线段的中点．    (1)如图1，若，点为线段的中点，则________； (2)如图2，若点在线段上，且，求的值； (3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系． 变式4--1．已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． 变式4-2．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长； (2)若，，请直接写出与存在的数量关系． 变式4-3．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 1．如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（  ） A．12﹣3× B．9﹣3× C．12﹣3× D．9﹣3× 2．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（    ） A． B． C． D． 3．如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 4．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 5．已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 6．如图，已知线段a、b． (1)请用尺规按要求作图，作线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若点C为上的任意一点，点D为的中点，点E为的中点，请补全图形，并求的长； (3)若（2）条件中“点E为的中点”改为“点E为的中点”，直接写出与、的数量关系和理由． 7．如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，． (1)求线段的长度． (2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为 　　． (3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 8．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 9．如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 10．如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 11．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 12．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有______条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． 12．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$