1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第3课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

·选择性必修第一册· 第3课时 空间中直线、平面的垂直 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、 平面的位置关系 1 学习目标 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，发展数学抽象素养. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理， 培养逻辑推理素养. 能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系，培养逻辑推理素养. 2 3 01 情境导入 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 引入新知 2085年，地球空间站突然收到一艘科研飞船的求救信号：它的太阳能板因陨石撞击偏离方向，无法充电，必须尽快调整到与太阳光束垂直的位置，否则飞船将失去动力。作为空间站工程师，你们的任务是通过数学计算，指导飞船用向量精准调整太阳能板方向！” 思考：太空没有重力，如何用数学判断两个方向是否垂直？飞船导航系统只‘听得懂’向量语言。 02 新课探究 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 新课探究 上节课学习了空间中直线、平面平行的向量表示，直线的方向向量和平面的法向量的对应关系是什么样的？ l1 l2 l 如何用这些向量来刻画空间中的垂直关系呢？ 新课探究 探究1 两条直线方向向量如何刻画这两条直线垂直？ l1 l2 (1) 直线垂直等价于向量垂直 新课探究 探究2 直线方向向量与平面法向量如何刻画直线与平面垂直？ l (2) 线面垂直等价于向量共线 新课探究 探究3 两平面法向量如何刻画这两平面垂直？ (3) 面面垂直等价于向量垂直 新课探究 我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？ 有了向量的运算才能研究空间图形的位置关系、度量问题.向量的作用是通过其运算来体现的，如果没有运算，那么向量仅能表示空间中的点、直线和平面，只是“路标”,无法获得空间图形的几何性质. 思考 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 03 应用新知 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 应用新知 例4： 分析： 证明 基向量法证明线面垂直 第一步：设基底 第二步：基底表示相关向量 应用新知 证明 第三步：基向量表示平面上任意向量 第四步：求直线方向向量与任意向量数量积 第六步：下结论 第五步：法向量定义可得平面法向量 应用新知 例5：证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直． 图1.4-15 分析： 证明 04 重要题型 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 重要题型专练 证明 题型一 空间向量证明线线垂直. 坐标法证明线线垂直 第一步：建系 第二步：求点坐标 重要题型专练 证明 题型一 空间向量证明线线垂直. 第三步：求直线方向向量坐标 第四步：坐标运算证线线垂直 重要题型专练 反思感悟 利用向量方法证明线线垂直的方法——坐标法: ①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标; ②根据所求出的点的坐标求出两直线方向向量的坐标; ③计算两直线方向向量的数量积为0; ④由方向向量垂直得到两直线垂直. 重要题型专练 题型二 空间向量证明线面垂直. 重要题型专练 证明：方法一 题型二 空间向量证明线面垂直. 基向量法证线线垂直+判定定理 基向量法证线线垂直 重要题型专练 证明：方法一 题型二 空间向量证明线面垂直. 线面垂直判定定理下结论 重要题型专练 证明：方法二 题型二 空间向量证明线面垂直. 坐标法证线线垂直+判定定理 先建系 求点和向量坐标 重要题型专练 证明：方法二 题型二 空间向量证明线面垂直. 坐标法证线线垂直 线面垂直判定定理下结论 坐标法证线线垂直+判定定理 重要题型专练 证明：方法三 题型二 空间向量证明线面垂直. 纯坐标法证线面垂直 先建系 求点和方向向量坐标 重要题型专练 证明：方法三 题型二 空间向量证明线面垂直. 再先平面法向量 向量运算证线面垂直 重要题型专练 反思感悟 利用空间向量证明线面垂直的方法——基向量法+判定定理： ①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量; ②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示; ③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论. 重要题型专练 反思感悟 利用空间向量证明线面垂直的方法——坐标法+判定定理： 方法一: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; ④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0,证得线线垂直,然后得出线面垂直. 应用新知 反思感悟 利用空间向量证明线面垂直的方法——纯坐标法： 方法二: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③求出平面的法向量; ④证明直线的方向向量与平面的法向量平行,得出线面垂直 重要题型专练 证明 题型三 空间向量证明面面垂直. 坐标法证面面垂直 第一步：建系求点和向量坐标 重要题型专练 证明 题型三 空间向量证明面面垂直. 坐标法证面面垂直 第二步：求第一个平面法向量 重要题型专练 证明 题型三 空间向量证明面面垂直. 坐标法证面面垂直 第三步：求第二个平面法向量 重要题型专练 证明 题型三 空间向量证明面面垂直. 第四步：向量运算证面面垂直 坐标法证面面垂直 应用新知 反思感悟 利用空间向量证明面面垂直的方法——坐标法： ① 建立空间直角坐标系; ② 求第一个平面的法向量; ③ 求第二个平面的法向量; ④ 向量运算证明两个平面法向量垂直,得出面面垂直 05 真题感知 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 证明 真题感知 解析 真题感知 解析 06 课堂笔记 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 课堂笔记 l1 l2 (1) 课堂笔记 l (2) 课堂笔记 (3) 07 小结与课后作业 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第33页练习第1题 教科书第42-43页习题1.4第5、8、11题  作业答案（教科书第33页练习第1题） 解析 作业答案（教科书第42-43页习题1.4第5题） 解析 作业答案（教科书第42-43页习题1.4第5题） 解析 作业答案（教科书第42-43页习题1.4第8题） 解析 作业答案（教科书第42-43页习题1.4第8题） 解析 作业答案（教科书第42-43页习题1.4第11题） 解析 作业答案（教科书第42-43页习题1.4第11题） 解析 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 练1：若直线的方向向量分别为，则（     ） A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 由题意得， ∴，∴， 故选：B 练2：（易错题）若直线l的方向向量，平面的法向量，则（     ） A． B． C． D．或 因为，所以，所以或. 故选：D 练3：若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（     ） A． B． C． D．l与斜交 因为直线l的方向向量为，平面的法向量为， 可得因为，所以， 所以 故选：B. 练4：已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（     ） A． B． C．1 D．4 因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面， 所以，所以，解得. 故选：B. 练5：已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则 . 因为平面的一个法向量，平面的一个法向量，且， 所以，即，所以，得到， 故答案为：. 已知：如图1.4-15，，，求证：． 在正方体中,E为AC的中点. 求证:(1); (2). 以为原点,所在直线分别为 轴，轴，轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则 (1)∵ (2)∵, ∴, ∴,∴. 在正方体中,E为AC的中点. 求证:(1); (2). ∴ ∴,∴. 思路分析： ①不建系,利用基向量法证明与平面内的两个不共线 向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论; ③在建系的前提下,求得平面的法向量,然后说明与法向量 共线,从而证得结论. ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明与平面内的两个不共线向量都垂直; 在棱长为1的正方体中,分别为棱 的中点.求证:平面 证明：因为分别为棱的中点, 所以, , 所以, 在棱长为1的正方体中,分别为棱 的中点.求证:平面 因此.同理, 又因为不共线,所以平面 在棱长为1的正方体中,分别为棱 的中点.求证:平面 以为原点,分别以所在直线为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系. 则 所以， 在棱长为1的正方体中,分别为棱 的中点.求证:平面 因此,故; 又,故. 又不共线, 所以平面. 在棱长为1的正方体中,分别为棱 的中点.求证:平面 以为原点,分别以所在直线为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系. 则 所以， 设平面的法向量为,所以， 在棱长为1的正方体中,分别为棱 的中点.求证:平面 所以，即 取,则,即, 所以平面. 因为，所以, 在棱长为1的正方体中,分别为棱 的中点.求证:平面 如图，在长方体中，，，是的中 点，是的中点．求证：平面平面． 建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，， ，． 设是平面的法向量， 则，， ，取，则，， ． 如图，在长方体中，，，是的中 点，是的中点．求证：平面平面． 设是平面的法向量， 则，， ，取，则，，． 如图，在长方体中，，，是的中 点，是的中点．求证：平面平面． 又， ， ∴平面平面 如图，在长方体中，，，是的中 点，是的中点．求证：平面平面． 因为，所以，解得. 故选：C 1．（23-24高二上·广东深圳·期末） 设平面和的法向量分别为．若，则（     ） A．4 B． C．10 D． 因为，所以与平行.对于两个平行向量和， 根据向量平行的性质，存在实数，使得. 2．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习） 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 ． 即.根据向量相等的对应分量相等，可得. 那么，. 将，代入，可得. 因为 不重合，， 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确； 对③，若 ，故③错误； 对④，，故④正确. 根据题意可知，如右图所示： 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 若，则可以在平面内，即，所以充分性不成立； 若，易知，由线面垂直性质可知，即必要性成立； 所以可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 由题意：，，. 5．（24-25高二上·山东青岛·期中） （多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 对A：因为，故A正确； 对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误； 对C：因为，，所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确； 对D：由，故D正确. 6．（2024高二·武汉·阶段练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面. 证明：(1)； (2)平面平面. 取BC的中点O，连接PO，∵平面底面，为等边三角形，平面底面，平面，∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如右图所示. 6．（2024高二·武汉·阶段练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面. 证明：(1)； (2)平面平面. （1）不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. 6．（2024高二·武汉·阶段练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面. 证明：(1)； (2)平面平面. （2）取PA的中点M，连接DM，则，∵，， ∴，∴，即. ∵，∴，即， 又∵平面PAB，∴平面. ∵平面，∴平面平面. 1. 线线垂直向量判定方法 设直线的方向向量为，直线的方向向量为， 则 . 2. 线面垂直向量判定方法 设直线的方向向量是，平面的法向量是， 则 . 2. 面面垂直向量判定方法 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 则 . 1.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量． （1）若，求a，b的关系式； （2）若，求a，b的值． （1）由得，所以，即， 整理得； （2）由得，所以，解得，. 5.如图，在正方体中，点E在BD上，且； 点F在上，且．求证：（1）；（2）． （1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为， 则， 因为，，所以，， 所以，， 5.如图，在正方体中，点E在BD上，且； 点F在上，且．求证：（1）；（2）． 所以，所以 （2）由（1）可知， 所以， 所以 8.如图，四面体ABCD的每条棱长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点． 求证：，． 由题意可知，三个向量两两间的夹角为， 因为M，N分别是AB，CD的中点， 所以, 8.如图，四面体ABCD的每条棱长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点． 求证：，． 则 ， 所以，同理可证. 11.如图，在长方体中，，，E是 CD的中点．求证：平面． 如图建立空间直角坐标系，则 ，，， 所以，， 所以， 11.如图，在长方体中，，，E是 CD的中点．求证：平面． ， 所以，， 因为，平面． 所以平面． $$