1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第3课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1.4 空间向量及其运算 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 （第3课时） 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系,培养数学抽象、直观想象的核心素养 能用向量语言证明直线、平面垂直的相关判定定理 能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 旧知回顾 1.如何用空间向量表示空间中的直线与平面？ 2.上节课我们讨论了几种平行关系？用空间向量是如何解决的？ (1)线→点+方向向量 (2)平面→点+法向量 (1)线线平行： (2)线面平行： (3)面面平行： 新知导入 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直； 直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行； 平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 新知探究 问题1 由直线与直线垂直的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？ 如图(1)所示，设直线l1, l2的方向向量分别为 则 α (1) l1 l2 新知探究 问题2 由直线与平面垂直的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 如图(2)所示， 设直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则 α (2) l A B C 问题3 由平面与平面垂直的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？ 新知探究 如图(3)所示， 设平面α, β的法向量分别为 则 α (3) β ⊂ m 典例分析 例1(课本P20-例2) 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1, D1B1的中点，求证：EF⊥DA1. O A D C B A1 D1 C1 B1 E F 证明： 典例分析 例2 如图示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AB=AD=AA1=1，求证: 直线A1C⊥平面BDD1B1. A C D B C1 D1 B1 A1 分析： 证明： 基底法比坐标法更具有一般性. 典例分析 例3 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. l 证明： 课后练习 课本练习 1. 已知 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量. (1) 若l // α，求a, b的关系式; (2) 若l⊥α, 求a, b的值. 课后练习 课本练习 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点， 为单位正交基底建立空间直角坐标系，求证: A1C⊥BC1. A D D1 A1 B1 C1 B C x y z 证明： 课后练习 课本练习 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点，求证:平面EAD1⊥平面EFD1. A C D B C1 D1 B1 A1 F E ∴ 平面EAD1⊥平面EFD1. 证明： 用空间向量解决直线与直线垂直 题型一 题型探究 【例1】如图, 分别是 的中点,证明: 证明 以为坐标原点, 所在直线分别为轴,轴, 轴建立空间直角坐标系,如图, 则 分别是 的中点, , ,, , , , 用空间向量解决直线与直线垂直 题型一 题型探究 【例2】在四面体中,,求证: 证明 如图所示: 由条件得 , 即 , 则 , 移项得 , 即,即,所以 用空间向量解决直线与直线垂直 题型一 题型探究 提分笔记 利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤 （1）基向量法： ①选取三个不共面的已知向量（通常是它们的模及其两两夹角为已知）为空间的一个基底； ②把两直线的方向向量用基底表示； ③利用向量的数量积，计算出两直线的方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直. 用空间向量解决直线与直线垂直 题型一 题型探究 提分笔记 （2）坐标法： ①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标； ②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直. 用空间向量解决直线与平面垂直 题型二 题型探究 【例3】如图,在棱长均相等的平行六面体中,若,求证: 平面 证明 记 , 由题意得 , 设棱长为 ,则 , 同理可证 , 平面 , 平面 用空间向量解决直线与平面垂直 题型二 题型探究 【例4】在正方体中,为与的交点,为 的中点, 求证:平面 . 证明 以点为坐标原点,所在直线分别为 轴,轴,轴建立 空间直角坐标系 ,如图,设正方体 的棱长为2, 则 设平面的法向量为 , 则即 令,可得 , ,则平面 . 用空间向量解决直线与平面垂直 题型二 题型探究 解题感悟 用向量法证明线面垂直的步骤 （1）利用线线垂直： ①将直线的方向向量用坐标表示； ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； ③判断直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直. （2）利用平面的法向量： ①将直线的方向向量用坐标表示； ②求出平面的法向量； ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 用空间向量解决平面与平面垂直 题型三 题型探究 【例5】三棱锥被平行于底面<m></m>的平面截得的几何体如图所示，截面为<m></m>， <m></m>，<</m>平面<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>为<m></m>的中点. 证明：平面<m></m>平面</m>. 证明 由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 因为 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> . 又 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， 所以 <m></m> 平面 <m></m> ，又 <m></m> 平面 <m></m> ， 所以平面 <m></m> 平面 <m></m> . 用空间向量解决平面与平面垂直 题型三 题型探究 解题感悟 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得到面面垂直. 课堂达标 1. 若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则直线 与平面 的位置关系是( @25@ ) A. B. C. 直线 与平面 相交但不垂直 D. 无法确定 B [解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 课堂达标 2.已知平面的一个法向量为,点 在平面内, 则 ___. [解析] 易得,且 ,所以 ,解得 课堂达标 3. 已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 ______. <m></m> [解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> . 课堂达标 4. 在正方体 <m></m> 中， <m></m> 为 <m></m> 的中点，证明：平面 <m></m> 平面 <m></m> . 证明 以 <m></m> 为原点， <m></m>， <m></m>， <m></m> 所在直线分别为 <m></m> 轴， <m></m> 轴， <m></m> 轴， 建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 设平面 <m></m> 的法向量为<m></m> ， 则 <m></m> 令 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 同理可得平面 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> ， 由 </m> 知 </m> ， ∴平面 <m></m> 平面 <m></m> . 课堂小结 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 感谢聆听! $$