1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第3课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 第3课时 空间中直线、平面的垂直 导学案 （1）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，发展数学抽象素养. （2）能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，培养逻辑推理素养. （3）能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系，培养逻辑推理素养. 第一环节 情境引入 2085年，地球空间站突然收到一艘科研飞船的求救信号：它的太阳能板因陨石撞击偏离方向，无法充电，必须尽快调整到与太阳光束垂直的位置，否则飞船将失去动力.作为空间站工程师，你们的任务是通过数学计算，指导飞船用向量精准调整太阳能板方向！” 思考：太空没有重力，如何用数学判断两个方向是否垂直？飞船导航系统只‘听得懂’向量语言. 第二环节 合作探究 回顾：上节课学习了空间中直线、平面平行的向量表示，直线的方向向量和平面的法向量的对应关系是什么样的？ 设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为, 完成下列表格： 直线、平面的位置关系 向量的位置关系 向量的运算 探索1：两条直线方向向量如何刻画这两条直线垂直？ 总结：直线垂直等价于 探索2：直线方向向量与平面法向量如何刻画直线与平面垂直？ 总结：线面垂直等价于 探索3：两平面法向量如何刻画这两平面垂直？ 总结：面面垂直等价于 思考：我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？ 牛刀小试： 练1：若直线的方向向量分别为，则（     ） A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 练2：（易错题）若直线l的方向向量，平面的法向量，则（     ） A． B． C． D．或 练3：若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（     ） A． B． C． D．l与斜交 例4 如图1.4-14，在平行六面体中， ，， 求证：直线平面． 例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 已知：如图1.4-15，，，求证：． 题型一：空间向量证明线线垂直. 例题 在正方体中,E为AC的中点. 求证：(1);(2). 方法总结：坐标法证明线线垂直 第一步： ：根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系； 第二步： ：正确地写出各点的坐标; 第三步： ：根据所求出的点的坐标求出两直线方向向量的坐标; 第四步： ：计算两直线方向向量的数量积为0，由方向向量垂直得到两直线垂直. 题型二：空间向量证明线面垂直. 例题 在棱长为1的正方体中, 分别为棱的中点. 求证:平面 方法总结：利用空间向量证明线面垂直的方法 (1) : ①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量; ②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示; ③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论. (2) : 方法一: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; ④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0,证得线线垂直,然后得出线面垂直. 方法二: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③求出平面的法向量; ④证明直线的方向向量与平面的法向量平行,得出线面垂直. 题型三：空间向量证明线面垂直. 例题 如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点．求证：平面平面． 方法总结：利用空间向量证明面面垂直的方法—— ： ① 建立空间直角坐标系; ② 求第一个平面的 ; ③ 求第二个平面的法向量; ④ 向量运算证明两个平面法向量垂直,得出面面垂直 1．（23-24高二上·广东深圳·期末） 设平面和的法向量分别为．若，则（     ） A．4 B． C．10 D． 6．（2024高二·武汉·阶段练习） 已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面. 证明：(1)； (2)平面平面. 1.线线垂直向量判定方法 设直线的方向向量为，直线的方向向量为， 则 . 2.线面垂直向量判定方法 设直线的方向向量是，平面的法向量是， 则 . 3.面面垂直向量判定方法 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 则 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 第3课时 空间中直线、平面的垂直 导学案 （1）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，发展数学抽象素养. （2）能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理，培养逻辑推理素养. （3）能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系，培养逻辑推理素养. 第一环节 情境引入 2085年，地球空间站突然收到一艘科研飞船的求救信号：它的太阳能板因陨石撞击偏离方向，无法充电，必须尽快调整到与太阳光束垂直的位置，否则飞船将失去动力.作为空间站工程师，你们的任务是通过数学计算，指导飞船用向量精准调整太阳能板方向！” 思考：太空没有重力，如何用数学判断两个方向是否垂直？飞船导航系统只‘听得懂’向量语言. 第二环节 合作探究 回顾：上节课学习了空间中直线、平面平行的向量表示，直线的方向向量和平面的法向量的对应关系是什么样的？ 预设：设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则： 直线、平面的位置关系 向量的位置关系 向量的运算 使得 使得 探索1：两条直线方向向量如何刻画这两条直线垂直？ 预设：如图1.4-13(1)，设直线，的方向向量分别为，， 则 ． 总结：直线垂直等价于向量垂直 探索2：直线方向向量与平面法向量如何刻画直线与平面垂直？ 预设：如图1.4-13(2)，设直线的方向向量为，平面的法向量为， 则 ，使得． 总结：线面垂直等价于向量共线 探索3：两平面法向量如何刻画这两平面垂直？ 预设：如图1.4-13(3)，设平面，的法向量分别为，， 则 ． 总结：面面垂直等价于向量垂直 思考：我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？ 预设：有了向量的运算才能研究空间图形的位置关系、度量问题.向量的作用是通过其运算来体现的，如果没有运算，那么向量仅能表示空间中的点、直线和平面，只是“路标”,无法获得空间图形的几何性质. 牛刀小试： 练1：若直线的方向向量分别为，则（     ） A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 解析：由题意得，∴，∴，故选：B 练2：（易错题）若直线l的方向向量，平面的法向量，则（     ） A． B． C． D．或 解析：因为，所以，所以或. 故选：D 练3：若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（     ） A． B． C． D．l与斜交 解析：因为直线l的方向向量为，平面的法向量为， 可得因为，所以，所以 故选：B. 例4 如图1.4-14，在平行六面体中， ，， 求证：直线平面． 分析：根据条件，可以为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可．（基向量法证明线面垂直） 证明：设，，，则为空间的一个基底，（第一步：设基底） 且，，．（第二步：基底表示相关向量） 因为，， 所以，． 在平面上，取，为基向量，则： 对于平面上任意一点，存在唯一的有序实数对，使得． （第三步：基向量表示平面上任意向量） 所以． （第四步：求直线方向向量与任意向量数量积） 所以是平面的法向量．（第五步：法向量定义可得平面法向量） 所以平面．（第六步：下结论） 例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 已知：如图1.4-15，，，求证：． 证明：取直线的方向向量，平面的法向量．因为，所以是平面的法向量． 因为，而是平面的法向量，所以． 所以． 题型一：空间向量证明线线垂直. 例题 在正方体中,E为AC的中点. 求证:(1);(2). 证明 以为原点,所在直线分别为轴，轴，轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则 . (1)∵，∴ ∴，∴. (2)∵，∴ ∴，∴. 方法总结：坐标法证明线线垂直 第一步：建系：根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系； 第二步：求点坐标：正确地写出各点的坐标; 第三步：求直线方向向量坐标：根据所求出的点的坐标求出两直线方向向量的坐标; 第四步：坐标运算证线线垂直：计算两直线方向向量的数量积为0，由方向向量垂直得到两直线垂直. 题型二：空间向量证明线面垂直. 例题 在棱长为1的正方体中, 分别为棱的中点. 求证:平面 分析：① 不建系,利用基向量法证明与平面内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明与平面内的两个不共线向量都垂直; ③在建系的前提下,求得平面的法向量,然后说明与法向量共线,从而证得结论. 证明：(方法1)因为分别为棱的中点, 所以, 而, 于是, 因此.同理, 又因为不共线, 所以平面 (方法2)以为原点,分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系. 则 所以，,, 因此,故; 又,故. 又不共线, 所以平面. (方法3)以为原点,分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系. 则 于是, 设平面的法向量为, 所以， 所以，即 取,则,即, 因为 所以, 所以平面. 方法总结：利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法: ①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量; ②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示; ③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论. (2)坐标法: 方法一: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; ④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0,证得线线垂直,然后得出线面垂直. 方法二: ①建立空间直角坐标系; ②将直线的方向向量用坐标表示; ③求出平面的法向量; ④证明直线的方向向量与平面的法向量平行,得出线面垂直. 题型三：空间向量证明线面垂直. 例题 如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点．求证：平面平面． 证明： 建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 设是平面的法向量，则，， ，取，则，，． 设)是平面的法向量，则，， ，取，则，，． 又，， ∴平面平面 方法总结：利用空间向量证明面面垂直的方法——坐标法： ① 建立空间直角坐标系; ② 求第一个平面的法向量; ③ 求第二个平面的法向量; ④ 向量运算证明两个平面法向量垂直,得出面面垂直 1．（23-24高二上·广东深圳·期末） 设平面和的法向量分别为．若，则（     ） A．4 B． C．10 D． 解析：因为，所以，解得. 故选：C 2．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习） 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 ． 解析：因为，所以与平行.对于两个平行向量和， 根据向量平行的性质，存在实数，使得. 即.根据向量相等的对应分量相等，可得. 那么，. 将，代入，可得. 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中） 为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：因为 不重合，， 对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确； 对③，若 ，故③错误； 对④，，故④正确. 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中） 已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：根据题意可知，如右图所示： 若，则可以在平面内，即，所以充分性不成立； 若，易知，由线面垂直性质可知，即必要性成立； 所以可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．（24-25高二上·山东青岛·期中） （多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 解析： 对A：因为，故A正确； 对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误； 对C：因为，，所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确； 对D：由，故D正确. 6．（2024高二·武汉·阶段练习） 已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面. 证明：(1)； (2)平面平面. 解析：取BC的中点O，连接PO，∵平面底面，为等边三角形，平面底面，平面，∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如右图所示. （1）不妨设，则，∴， ∴，， ∵，∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则，∵，， ∴，∴，即. ∵，∴，即， 又∵平面PAB，∴平面. ∵平面，∴平面平面. 1.线线垂直向量判定方法 设直线的方向向量为，直线的方向向量为， 则 . 答案： 2.线面垂直向量判定方法 设直线的方向向量是，平面的法向量是， 则 . 答案： 3.面面垂直向量判定方法 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 则 . 答案： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$