1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第3课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 （第3课时） 题型一：坐标法判断垂直关系 1．若直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（    ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．垂直相交 2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 3．若平面的法向量分别为，则（    ） A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确 4．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关 题型二：利用垂直关系求参 1．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B．1 C． D． 2．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 3．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 题型一：证明线线垂直 1．如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 2．如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．证明：； 题型二：证明线面垂直 1．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    2．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，，F为的中点，求证：平面； 题型三：证明面面垂直 1．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 2．如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 题型：垂直探索性问题 1．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 2．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点，设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 3．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 （第3课时） 题型一：坐标法判断垂直关系 1．若直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（    ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．垂直相交 【答案】B 【分析】根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可. 【详解】因为，所以，所以 . 故选：B. 2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 【答案】A 【分析】判断的关系，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由向量，，得，即， 所以. 故选：A 3．若平面的法向量分别为，则（    ） A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】计算可得平面的法向量不满足平行与垂直即可判定. 【详解】，则，且不存在实数使得，故不平行，则相交但不垂直. 故选：C 4．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关 【答案】B 【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解 【详解】建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，， ， ， 故选：B 题型二：利用垂直关系求参 1．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直得直线的方向向量和平面的法向量平行，进而求解. 【详解】因为，所以直线的方向向量和平面的法向量平行， 则，解得， 故选：A. 2．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】利用面面垂直的空间向量的坐标运算可得答案. 【详解】因为，又，所以， 所以，解得， 故选：. 3．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出的坐标，计算，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点是否在平面内. 【详解】对于选项A，，所以， 根据线面垂直的性质可知,故在平面内； 对于选项B，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项C，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 对于选项D，，则， 在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内； 故选：A 4．（多选）直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意得到直线的方向向量与面的法向量平行，四个选项一一判断，得到答案. 【详解】，故直线的方向向量与面的法向量平行， A选项，与平行，满足要求， B选项，，故与平行，满足要求， C选项，，故与垂直，不合要求； D选项，，故与垂直，不合要求， 故选：AB 题型一：证明线线垂直 1．如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】选择空间中一组基底，利用空间向量数量积公式计算即可. 【详解】选取作为空间的一个基底，设． 由已知条件和三棱柱的性质，得，， ，． 所以 ， 所以，即． 2．如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．证明：； 【答案】证明见解析 【分析】连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出，计算出即可. 【详解】连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 则，，则， 所以. 题型二：证明线面垂直 1．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面； 【答案】证明见解析． 【分析】以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 2．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，，F为的中点， 求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； 【详解】设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． 题型三：证明面面垂直 1．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点． 证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 2．如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 题型：垂直探索性问题 1．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 2．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点，设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，. 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 3．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面 平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接. 设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$