8.1 一元二次方程 课件2024-2025学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

8.1 一元二次方程 复习引入 1.方程：含有未知数的等式叫做方程. 2.一元一次方程：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 3.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 1.幼儿园某教室矩形地面的长是8m，宽为５m．现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯 ，四周未铺设地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 设宽度为x米，如何列方程？ 2.你能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设第一个数为x，如何列方程？ 它们化简后有什么共同特征？ 1.只含有一个未知数 2.未知数的最高次数是2 3.整式方程 思考：什么是一元二次方程？ 一元二次方程：只含有一个未知数x，且未知数x的最高次数是2的整式方程，且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . 一般形式： 一元一次方程 只含有一个未知数，且未知数的指数为1，等号两边都是整式 的方程 叫做一元一次方程。 归纳： 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时， 当 a ≠ 0 ， b = 0时， 当 a ≠ 0 ， c = 0时， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时， 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. (2)将关于x的一元二次方程x2－x＝56化成一般形式后,二次项系数、一次项系数和常数项的值分别是( ) A.1,1,56 　 B.1,1,－56 C.1,－1,56　 D.1,－1,－56 (1)将一元二次方程x(x＋4)＝8x＋12化为一般形式,正确的是( ) A.x2＋4x＋12＝0　 B.x2＋4x－12＝0 C.x2－4x－12＝0　 D.x2－4x＋12＝0 D C 小试牛刀 练习2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 例2：将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解：方程化简得： 二次项：3x2 , 二次项系数：3 一次项：-8x , 一次项系数：-8 常数项：-10 一元二次方程初探 活动二 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 一元二次方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解. 只含有一个未知数的方程的解也叫做根. 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 一元二次方程的根 例3 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察， 有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分 看作一个整体，再用整体思想代入求值． 一元一次方程 一元二次方程 相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 一元一次方程与一元二次方程的异同 课堂小结 五 一元二次方程的解： 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（根）. 下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -3 , -2 ，-1 ，0 ，1，2，3 解：当x=3时， x2 – x – 6 =9-3-6= 0 当x=-2时， x2 – x – 6 =4+2-6= 0 ∴ x=3或x=-2都是x2 – x – 6 = 0的解 注意,一元二次方程可能不止一个根. 一元二次方程的解的估算 幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同 ，你能求出这个宽度吗？ 四周未铺地毯部分的宽度x满足方程： (8－2x)(5－2x)=18 化简 ，得 2x2-13x+11=0 你能确定x的大致范围吗？ 方程(8－2x)(5－2x)=18 （1）你能确定x的大致范围吗？ 0 < x <2.5 8－2x 5-2x (2)填写下表： x 0.5 1 1.5 2 (8－2x)(5－2x) 28 18 15 4 当x=1时，(8－2x)(5－2x)=18，∴方程的解为x=1 $$