专题2.5 一元二次方程根与系数的关系（高效培优讲义）数学湘教版九年级上册

专题2.5 一元二次方程根与系数的关系 教学目标 1.在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。 2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。 教学重难点 1.重点：观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系 2.难点：对一元二次方程的根与系数这一性质进行应用。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练1】 1．已知是一元二次方程的两根，则 ． 2．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 3．已知是一元二次方程的两个根，则的值等于 ． 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【即学即练2】 4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，若，则k的值为 ． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 ；（填序号即可） (2)一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ (3)若是倍根方程，求的值． 题型01 利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】关于的一元二次方程的两根是，，则 ． 【变式1】若，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【变式2】已知是一元二次方程的两个根，若，则 ． 【变式3】已知方程的两个解分别为a，b，则 ． 题型02 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【变式1】若 的两个根为，则 ． 【变式2】已知m，n是一元二次方程的两根，则代数式 ． 【变式3】已知是方程的两个不相等的实数根，则 ． 题型03 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例1】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是 ． 【变式1】关于的一元二次方程，如果方程的两个实数根为，，且，则k的值为 ． 【变式2】已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两根，且，求的值 【变式3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根满足，求m的值． 题型04 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 【典例1】已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若异号，则方程必有解 C．若，则方程两根互为相反数 D．若，则方程有一根为0 【变式1】已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是（   ） A．①② B．②③④ C．②④ D．①②④ 【变式3】关于的次多项式，其中系数均为正整数，且，下列说法正确的个数是 ①若，则可为三次四项式； ②若，则满足条件的多项式共有3种； ③若是二次三项式，，则多项式有最小值； ④若是二次三项式，方程有解，当取最小值时，方程的两根． A．4 B．3 C．2 D．1 题型05 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 【典例1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值时，该方程总有两个实数根； (2)若的两条直角边恰好是该方程的两个实数根，且斜边长的长为，求的值． 【变式1】已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【变式2】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【变式3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若是以为斜边的直角三角形，的长为5，另两边、的长是方程的两个根，求的面积． 一、单选题 1．若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 2．已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程，，是它的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知实数，满足，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 二、填空题 6．关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 7．关于的一元二次方程有两根，其中一根为，则两根之和为 ． 8．若两个不等实数、满足条件：，，则的值是 ． 9．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 10．若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ． 三、解答题 11．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 12．已知一元二次方程． (1)当时，求方程的根． (2)若，，是该方程的两根，求的值． 13．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 14．【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为，，则，． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，，则________，________； 【类比运用】已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． (1)下列方程是“二倍根方程”的有_______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“二倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“二倍根方程”，试探究、、应满足的数量关系． 16．背景情境：赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题： 题目：已知实数满足，，且，求的值． 解：根据题意得与为方程的两根， ∴，， ∴， 请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考．解决问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知关于的方程有两个根，满足．当的三边满足，，，求的值以及的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 一元二次方程根与系数的关系 教学目标 1.在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。 2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。 教学重难点 1.重点：观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系 2.难点：对一元二次方程的根与系数这一性质进行应用。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练1】 1．已知是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，理解并掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想代入进行计算即可． 【详解】解：∵是一元次方程的两根， ， ， 故答案为：． 2．已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系可直接求解． 【详解】解：∵方程的两根分别为，， ∴，， 则． 故答案为：5． 3．已知是一元二次方程的两个根，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可．此题考查了一元二次方程的根和根与系数关系，整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【即学即练2】 4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，若，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系和，可以求得k的值． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 当时，，方程有两个不相等的实数根； 即k的值是3． 故答案为：3． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； （2）解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 ；（填序号即可） (2)一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ (3)若是倍根方程，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程等知识点，读懂题意，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解方程，然后根据“倍根方程”的定义进行判断即可； （2）由于一元二次方程是“倍根方程”，因而可设方程的两根为和，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，进而可得，，于是可得，化简即可得出，，之间的数量关系； （3）求解方程可得，，由“是倍根方程”可得或，然后分和两种情况即可求出的值． 【详解】（1）解：方程①， 解得：，， ， 方程①是倍根方程； 方程②， 解得：，， 且， 方程②不是倍根方程； 方程③， 解得：，， ， 方程③是倍根方程； 故答案为：； （2）解：一元二次方程是“倍根方程”， 可设方程的两根为和， 则，， ，， ， 整理，得：， 答：，，之间的数量关系是； （3）解：， 解得：，， 是倍根方程， 或， 当时，，即， 当时，，即， 的值为或． 题型01 利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】关于的一元二次方程的两根是，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根是，， ∴， 故答案为：． 【变式1】若，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ． 故答案为：． 【变式2】已知是一元二次方程的两个根，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，，根据得出，进而直接得出即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3】已知方程的两个解分别为a，b，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系得出，，变形后代入，即可求解． 【详解】解：方程的两个实数根为a、b， ，， ∴， 故答案为：2024． 题型02 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系得，，然后把所给代数式通分后代入求解即可．掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根与系数的关系得， ，， ， 故答案为：． 【变式1】若 的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若、是关于的方程的两个实数根，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到即可得到答案． 【详解】解：∵、是关于的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知m，n是一元二次方程的两根，则代数式 ． 【答案】60 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求出，，然后把所给代数式变形后代入计算即可． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：60． 【变式3】已知是方程的两个不相等的实数根，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程解的定义，将代入已知方程求得，然后根据根与系数的关系知，最后整体代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴，即；， ∴． 故答案为：5． 题型03 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例1】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．熟知一元二次方程根与系数的关系为：，，是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， 整理得出：， 解得：， 故答案为：1． 【变式1】关于的一元二次方程，如果方程的两个实数根为，，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义；根据根与系数的关系得出，，代入求出，根据判别式检验，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为， ∴，，且， ∵， 即有， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两根，且，求的值 【答案】(1)详见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，一元二次方程根与系数关系是解决此题的关键． （1）求该方程根的判别式即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根； （2）解：，是方程的两根， ，， ， ， 解得，，． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根满足，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先运用根与系数的关系得出，，再代入到，即可求出答案． 【详解】（1）∵方程有两个实数根， ， 解得； （2）和是一元二次方程的两个根， ，， ， ， ， 解得，． ， ． 题型04 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 【典例1】已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若异号，则方程必有解 C．若，则方程两根互为相反数 D．若，则方程有一根为0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的定义和解法是关键. 将代入方程即可判断A，利用根的判别式可判断B，将代入方程，根据直接开平方法解方程即可判断C，将代入方程，可判断D. 【详解】A．若方程有一根为1，把x=1代入原方程，则，故A正确； B．若a、c异号，则，∴方程必有解，故B正确； C．若，方程变为，若方程有解，则，此时两根和为0，互为相反数，但若、同号，方程无实数根，故C错误； D．若，则方程变为，必有一根为0．故D正确． 故选：C． 【变式1】已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程，①根据一元二次方程的定义判断；②代入，验证根的和是否为6；③计算判别式Δ，分析k的取值对Δ的影响；④求满足条件的正整数k，验证根是否为整数． 【详解】解：①方程为一元二次方程时，二次项系数，即，故说法①正确； ②当时，方程化简为，根的和为，故说法②错误； ③判别式，当时，，但需（否则方程非二次），题目未排除，故说法③错误； ④解方程得根为，，要求为整数，得（唯一正整数解），故说法④正确． 综上，正确的为①④，共2个， 故选：B． 【变式2】下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是（   ） A．①② B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据解方程，根的判别式，二次根式的化简解答即可． 本题考查了解方程，根的判别式，二次根式的化简，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：①时，是一元一次方程，根为；关于的方程且时，有两个实数根，故，本题结论错误，不符合题意； ②根据，得。故，本结论正确，符合题意； ③，则方程一定无解，故本结论错误，不符合题意； ④根据方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 正确，符合题意． 故选：C． 【变式3】关于的次多项式，其中系数均为正整数，且，下列说法正确的个数是 ①若，则可为三次四项式； ②若，则满足条件的多项式共有3种； ③若是二次三项式，，则多项式有最小值； ④若是二次三项式，方程有解，当取最小值时，方程的两根． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的项和系数，一元二次方程根与系数的关系，判别式及配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．依题意，假设时，可为三次四项式， 则，，且都不为0，当时，为三次四项式成立，故①正确；当时， 则，即可判断②；当是二次三项式，时，，得，根据二次函数的图象性质进行判断；依题意，得，，因为取最小值，，即，则，，，所以方程的两根．即可作答． 【详解】解：∵系数，，，，均为正整数，且，， ①假设时，可为三次四项式， 则，，且都不为0， ∵， ∴当时，为三次四项式成立，故①正确； ②当时， 则， ∴满足条件的多项式只有1种；故②错误； ③当是二次三项式，时， ∵， ∴， ∵，且， ∴多项式有最小值，故③正确； ④∵是二次三项式， ∴， ∵方程有解， ∴， ∵系数，，，，均为正整数，且，且，且取最小值， ∴，即， ∵， ∴， ∵都是正整数，且取最小值， ∴，， ∴， ∴方程的两根．故④是错误； 故选：C． 题型05 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 【典例1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值时，该方程总有两个实数根； (2)若的两条直角边恰好是该方程的两个实数根，且斜边长的长为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)-3 【分析】（1）一元二次方程的根的情况可以由方程的根的判别式来判定，先计算，证明，即可得该方程总有两个实数根． （2）由题意用分别表示方程的两个根，即三角形的两直角边的长，由根与系数的关系可得，根据勾股定理列方程，解关于a的一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴不论取何值时，方程总有两个实数根 （2）解：由题意，用分别表示方程的两个根，即三角形的两直角边的长，则有 ， 又∵斜边长 根据勾股定理 ∴ ∴ 即 或 ∵为两个正根 ∴舍去 ∴ 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，解一元二次方程，熟练的运用“根的判别式判定方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． 【变式1】已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【答案】(1)详见解析 (2)k的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式列出关于k的式子． （1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，利用，即可得到k的值． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即k的值为． 【变式2】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）计算判别式的值，再利用配方法得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，而，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）由，得， ， ， ， ， 解得：  ， 或1． 【变式3】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若是以为斜边的直角三角形，的长为5，另两边、的长是方程的两个根，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系可得，，再根据勾股定理求得，代入原方程中求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由题意，得：，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵当时， （不合题意，舍去）， ∴， ∴原方程为， 解得：， ， ∴的两直角边的长分别为1，， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． 一、单选题 1．若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴． 故选：B． 2．已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 3．若一元二次方程，，是它的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，先把方程整理成一般式，再利用根和系数的关系可得，，最后利用完全平方公式的变形运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：方程整理得，， ∵，是它的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故选：． 4．已知实数，满足，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系和完全平方公式，根据题意可以把，看做一元二次方程的两个根，再根据相关知识一一判定即可；解决此题的关键是运用转化思想，把此题，转化成一元二次方程的两个根． 【详解】解：由题意得：，可看做一元二次方程的两个根， ∴化简方程为：， 根据根与系数关系可得：，， ∴，选项A错误，不符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D正确，符合题意； 故选∶D． 5．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 【答案】D 【分析】设方程的两根为，方程的两根为．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出，，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出，利用不等式的性质以及完全平方公式得出，即可判断B与D． 【详解】解：方程的两根为，方程的两根为． 根据题意，得，， 故A与C都错误，不符合题意； 由方程有两个实数根，由根的判别式得出， ∴， ∴， ∴， 故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，不等式的性质，完全平方公式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键． 二、填空题 6．关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 即另一个根， 故答案为：1． 7．关于的一元二次方程有两根，其中一根为，则两根之和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：， ∴，， 即：两根之和为2； 故答案为：2． 8．若两个不等实数、满足条件：，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，由，，得到是关于的一元二次方程的两个不等实数根，由根和系数的关系得到，理解是关于的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是关于的一元二次方程的两个不等实数根， ∴， 故答案为：． 9．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4051 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则 ， 故答案为：4051． 10．若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两实数根，且， ∴， 解得． 又是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 故． 故答案为：3． 三、解答题 11．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式运算和完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，把所给代数式经过恒等变形为含的形式后，整体代入的值是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系：如果的两个实数根是，那么，得到的值． （1）把原式通分后运算得到，然后利用整体代入法计算即可； （2）利用完全平方公式的变形得到，然后利用整体代入法计算即可． 【详解】（1）方程中，，已知有两个根， 由一元二次方程根与系数的关系得． ； （2）． 12．已知一元二次方程． (1)当时，求方程的根． (2)若，，是该方程的两根，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查解一元二次方程和根与系数的关系， 将已知值b代入，利用直接开平方法解方程即可， 将已知值b代入，结合根与系数的关系即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：当时，方程为， 则， 解得． （2）解：若，则方程为． ∵，是该方程的两根， ∴，， ∴． 13．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次根的判别式和根与系数关系等知识． （1）根据关于的一元二次方程有实数根得到，即可求出的取值范围； （2）由根与系数关系和得到，解方程得到，又由（1）中求得的即可得到答案． 【详解】（1）∵关于的一元二次方程有实数根． ∴ ． （2）由题意可得，，． 解得 ∵ ． 14．【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为，，则，． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，，则________，________； 【类比运用】已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】[材料理解]，；[类比运用]（1）证明见解析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． [材料理解]根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； [类比运用]（1）证明即可； （2）通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】[材料理解]：解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，； [类比运用]（1）证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵，∴， 解得：． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． (1)下列方程是“二倍根方程”的有_______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“二倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“二倍根方程”，试探究、、应满足的数量关系． 【答案】(1)① (2) (3)是，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别解各个方程，结合“二倍根方程”的定义判断即可得解； （2）依题意可设关于的方程的两个根为，，由一元二次方程根与系数的关系可知，，求解即可； （3）由题意可得，方程变形为，求出方程的两个根，结合“二倍根方程”的定义判断即可； （4）根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和，由根与系数的关系可得：，，求解即可． 【详解】（1）解：解可得：，， ∵， ∴①是“二倍根方程”； 解可得：，， ∵， ∴②不是“二倍根方程”； 解可得，， ∵， ∴③不是“二倍根方程”； （2）解：依题意可设关于的方程的两个根为，， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ，； （3）解：是“二倍根方程”，理由如下： 点在反比例函数的图象上， ，             方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“二倍根方程”； （4）解： 根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和，       由根与系数的关系可得：，，     消去可得. ，，之间的关系是． 16．背景情境：赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题： 题目：已知实数满足，，且，求的值． 解：根据题意得与为方程的两根， ∴，， ∴， 请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考．解决问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知关于的方程有两个根，满足．当的三边满足，，，求的值以及的面积． 【答案】(1)； (2)的值为，的面积为． 【分析】（）根据题意可得，，变形整理所求式子，然后代入求值即可； （）利用根与系数的关系得，，，结合可求出的值, 由满足 ，，可得出为方程的两根，根据根与系数的关系可得出，，由可得出为直角三角形，再利用三角形的面积公式可求出的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴与为方程的两根， ∴，， ∴； （2）解：∵，是方程的两个根， 则有， ∴，，， ∵， ∴，则， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∵满足，， ∴为方程的两根， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴的值为，的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$