(六)导数在研究函数中的应用(二)-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考人教A版）

高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（六） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 (主题内容) ②③ ④ 档次系数 1 选择题 5 单调性与充要性的 综合 易 0.80 2 选择题 5 求函数的最值 易 0.72 3 选择题 函数图象的识别 易 0.70 4 选择题 5 导数的实际应用 的 0.55 5 选择题 利用导数研究函数图 0.45 象的对称性 分 6 选择题 5 利用导数比较大小 中 0.30 选择题 借助函数图象判断不 6 等关系 多 0.75 8 选择题 利用导数研究函数的 6 班 0.28 性质 9 填空题 由函数的极值求参 易 0.72 10 填空题 利用导数研究双变量 / 农 0.45 问题 11 解答题 13 利用导数求最值，由函 第 0.60 数零点求参 12 解答题 讨论含参函数的单调 15 性，由不等式有解求参 中 0.35 利用导数求函数的极 13 解答题 20 值，由不等式恒成立求 难 0.28 参，证明数列型不等式 ·67· ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 a的取值范围为（一oo,1一e),故选C. 1.A【解析】由题意知了(x)=3x十a,若f(x)在R 6.B 上单调递增，则了(x)≥0，即a≥一3r恒成立，故 【解析】构建函数f(x)=nr>e,则f(x) a≥0，所以“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分 hx->0在(e,十∞)内恒成立，所以f(x)在 不必要条件.故选A. (In x)* 2.B【解析】因为f(x)=ax3十bx十2，a,b为正实数， (c,十∞)内单调递增，又因为a=, 所以f(x)=3ax+b>0恒成立，所以f(x)在R 上单调递增，所以f(x)在[0,1]上的最大值为 n2n4:所以f(4)>f(x)>f(e)=e,即c>a> 2 f(1)=a+6+2=4,即a+b=2,所以f(x)在 e.构建函数g(x)=x-sinx,x>0,则g'(x)=1一 [-1,0]上的最小值为f(-1)=一(a+b)+2=0. cosx≥0在(0，十∞)内恒成立，所以g(x)在 故选B. (0,+o)内单调递增，则g(x)>g(0)=0,即x> 3.D【解析】易知f()=的定义域为xx≠ x nx,x>0,所以>sin。,且e>0.所以e> e o,因为f(-x)=)立=fx),所以 -l ein。即e>h.综上所述，c>a>b.放选B f(x)为偶函数，故B错误：又当x>0时，f(x) 二、选择题 hx,则f(x)=lnx十1，令f(x)>0,得x>⊥，令 7.BC【解析】由函数f(x)的图象可知，f(x)的单调 e f(x)<0,得0<x<是，故f(x)=nx在 递增区间为（一©，-1）.（受，十），单调递减区间 (0,)上单调递减，在（仁，+）上单调递增，结合 为(-1,2)所以当x<-1或x>号时f)>0: 选项A,C,D中的图象可知只有D中的图象符合题 当-1<x<是时，了(x)<0,所以了（合）<0， 意.故选D. f(-1)=0,(-2)>0,/(号）=0.故选BC 4.A【解析】由题意知八6)=。是十2×(6-7)° 8.ABD【解析】对于A,因为y=sinx的周期T=2π， 3,解得a=2,所以f(x)=名十2（一7），利润 所以频率为云，所以y=言nr的频率为2X云 y=f(x)(x-4)=2+2(x-7)(x-4),则y'=6(x- 7)(x-5).当x∈(4,5)时，y=6(x-7)(x-5)>0: 是，所以周期为T=,所以怎=，解得m=2,所以 当x∈(5,7)时，y=6(x-7)(x一5)<0，所以y= 2+2(x-7)2(x-4)在(4,5)上单调递增，在 fx)=sinx+in2x(x∈R).因为y=inx的周 (5,7)上单调递减，故当x=5时，y.=2+2×4=10 期T-2,=子如2：的周期T=:所以)的 (百元).故选A. 最小正周期为2π，所以A正确，对于B,因为f(x)的 5,C【解析】因为函数f(x)与g(x)的图象上恰有两 最小正周期为2π，不妨设x∈[0,2π]，由f(x)= 对关于x轴对称的点，所以一f(x)=g(x),即一a.r十 rnx=c-1有两解，所以a=血二e+卫有两解， sinx+号sm2,得了(x)=c0sx+cos2x= 2cos'x+cosr-1=(cosx+1)(2cosx-1),由了(x) 令h(x)=n二+l（>0),则/（x)= T >0,得c0s>或osK-1(舍去)，则0<x<号 (e=1)1-2,所以当x∈(01)时，(x)>0, 或号<x<2,此时f()单调递增：由了()<0，得 h(x)单调递增：当x∈(1，十∞)时，(x)<0, h(x)单调递减，所以h(x)在x=1处取得极大值 -1<0sx<,则号<x<受，此时f(x)单调递 h(1)=1一e,且当x∈(0,1)时，h(x)的值域为 (一o∞，1一e):当x∈(1，十o∞)时，h(x)的值域为 减，所以当x=号时，f(x)取得极大值f(号) (一eo1-e),因此a=血二c十上有两解时，实数 x 号+如-+9-，为f2)=0, 4 ·68. 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 所以(x)的最大值为35，所以B正确：对于C,因 当x<1或x>2时，f(x)>0:当1<x<2时， 4 f(x)<0, 为fx+2x)=i如(x+2a)+号sin2(x+2m)= 所以f(x)在(-oo,1),(2,十o)上单调递增，在 (1,2)上单调递减， (8分) sinx十合sin2,f(-r)=-simx-合sin2,所以 5 所以当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=之+a: f(x+2π)≠f(-x),所以f(x)的图象不关于直线 当x=2时，f(x)取得极小值f(2)=2+a, x=π对称，所以C错误：对于D,由f(x)=sinx十 且当x趋向于-∞时，f(x)趋向于一o:当x趋向 zsin2x=sinx十sin xcos=0,得sinx=0或 于十∞时，f(x)趋向于十∞， (10分) 因为f(x)有三个零点， cosx=-1,因为x∈[0,2π]，所以由sinx=0.得x= 0或x=π或x=2π，由cosx=一1，得x=π，所以 所以/停+。S0 (12分) f(x)在区问[0,2π]上有3个零点，所以D正确.故 2+a<0 选ABD. 三、填空题 解得一5 <a<-2, 9.[0,8)【解析】因为f(x)=(x2-a)心在区间 放实数a的取值范围为（一号，一2）】 (13分) (一2,2)内只有极小值，无极大值，所以f(x)= (x2十2x-a)e=0在区间(-2,2)内只有一个左负 12.解：(1)由题可知了(x)=4-2x=a一2x .xE x 右正的异号根，即关于x的方程x+2x一a=0在区 (0,+∞)， (1分) 间（一2,2）内只有一个左负右正的异号根，所以 1(-2)+2×(-2)-a<0,解得a∈[0,8). 当a≤0时，了(x)<0, 则f(x)在区间(0，十∞)上单调递减： (3分) |2+2×2-a>0 a 10.[日，十）【獬桥】不等式2，+f(x)>2x,十 当a>0时，令广(x)>0,得0<<√？： f(1)等价于f(x)-2.x1<f(x1)一2x,令 令)<0,得>√号， F(x)=f(x)-2x,x∈(0，十oo),F(x)< F(x:),又x>x:>0,所以函数F(x)=f(x) 故f(x)在区间(0√号)上单调递增，在区向 2x在(0，十∞)上单调递减，所以F(x)=了(x) 2=2lnx-2ax≤0在(0，+∞)上恒成立，即ln≤ (√号，+)上单调递诚。 (5分) 综上，当a≤0时，f(x)在区间(0，十∞)上单调递 a在(0，+∞)上恒成立.令g(x)=h二，x∈ 减：当a>0时，fx)在区向(0√号)上单调递 (0,+∞)，则g()=n三，所以当x∈ x 增，在区间（√受，十∞）上单调递减 (7分) (0,e)时，g'(x)>0,g(x)单测递增：当x∈ (e,十o)时，g(x)<0,g(x)单调递减，所以 (2)当a>0时，结合(1)知f(x)w= g)=g(e)=。,所以a≥。，所以实数a的取 值范围为[日，十人 (8分) 若存在x>0,使得f(x)>0成立， 四、解答题 11.解：(1)由题可知(x)=3.x2一9x十6=3(x-1)· 则fx)m=aln√乞- aa -c>0 (9分) (x-2), (1分) 当x∈[一2,1)时，了(x)>0,f(x)单调递增： 令Ra)=受n号-号-e2(a>0) 当x∈(1,2)时，了(x)<0f(x)单调递减： 当x∈(2,3]时，f(x)>0,f(x)单调递增，(4分) 则ga)=h受， (11分) 所以fx)mx=max{f(1),f(3)}, 当a∈(0,2)时，g'(a)<0:当a∈(2，十o∞)时， 因为fa)=号+af3)=号+a, g'(a)>0, 所以g(a)在区间(0,2)上单调递减，在区间 所以f1)<f(3), (2,十∞)上单调递增， (13分) 所以代r在[-一2,3]上的最大值为号十a,(6分) 又因为在区间(0,2)上，g(a)<0,g(2)=-1-e <0,g(2e)=0, (2)h(1)知f(x)=32-9x+6=3(x-1)(x-2), 所以a的取值范围是(2e2,十oo). (15分) ·69✉ 13,解：(1)当a=-1时，fx)=nx+士 所以实数a的取值范围是(-0，-] (10分) x∈(0，十∞)， 则ra=士学 (3)曲(2)，当a=-时，n≥- e 2， (2分)》 当0<x<1时，了(x)<0:当x>1时，了(x)>0, 所以>≥dn子 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单满 所以x≥elnx,当且仅当x=e时等号成立，(12分) 递增， 所以"+>edn"+=cnu+)-lnn], 所以(x)有极小值f(1)=1,无极大值. (5分) n (2)由f(x)≥0恒成立，得x>0,a≤xhx, 令g(x)=rin>0,则g(x)=1+lnx n"cCln a-In(n-1]. 当0<<时，ge)<0:当>时m>0, 2>dh是=eh2-ln1DneN, (16分) 所以g)在(0，)上单调递减，在（日，+∞）上 单调递增， 所以中+片十…+导>eaa+1)-aa+ (8分) In n-In(n-1)+..+In 2-In 1]=eln(n+1), 所以当x= 是时，5)取得最小值：（日） (18分) -2 所以e+号++安>(n十1)y(n∈N). (20分) 则a≤-：G 网，解答题（木题共3小题，共8分。解容风写出必要的文字说明，正明过程或消算步露） 13,木小题清分20.分) 11.(本小题满分13分) 已知函数)=hr一 已知函数)=r-昌r+ir+a (1)当u-一1时，求fx)的极值： (1)求f《x)在[一2,3]上的是大能： 《2)若(r)恒成立，求实数：的取值范周： (2)若函数「(x)恰有三个零点，求实数难的取值范同。 (3)证明：+■宁>(m十1)(n∈N). 2.(本小题满分15分) 已知函数fx)=lnr一z一2（其中e为自然对数的底数，a∈R). (1)讨论f(x)的单离性： (2)当0时，若存在x0,使得/(x)>0成立，求a的取值范保. 数学（人较A级}选挥性必传第二质第8页{共页1 衡水会幕·究草最·喜二同步丽测卷大 数学（人较八短}选择性必悟第二册第页[共4页）