精品解析：江苏省南通市海安市十三校联考2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年第二学期第二次联合测试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数不是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是(　　) A. B. 且 C. 且 D. a为任意实数 4. 在中，的对边分别为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 5. 若样本…，的平均数是5，方差是2，则样本，…，的平均数、方差分别是（　　） A 5，2 B. 10，2 C. 10，4 D. 10，8 6. 我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年10月新能源汽车销量约为万辆，2024年12月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 关于x，y的方程组的解是 B. 方程的解是 C. 方程的解是 D. 不等式解集是 9. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 11. 一组数据：3，4，4，，5，5，9，其平均数是5，则众数是_________． 12. 已知方程的两根分别为a和b，则的值为 ______． 13. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 14. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 15. 如图，一个弹簧不挂重物时长10，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：）关于所挂物体质量x（单位：）的函数图象如图所示，则图中a的值是________． 16. 如图，菱形的周长为32，面积为36，P是对角线上一点，分别作P点到直线的垂线段，则等于_____ ． 17. 如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____． 18. 如图，O为正方形对角线的中点，将沿着过点C的直线l翻折，使点B的对应点E落在正方形的内部，连接，，，，若，．的长为 _____． 三、解答题(本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解方程：． 20. 作图：在内作菱形． 要求：（1）用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法完成作图． （3）选择一种方法写出已知求证及证明过程． 选择方法_____． 已知： 求证： 21. 为加强学生劳动教育实践，某校开展“劳动技能大比拼”知识竞赛活动，现从九年级和八年级参赛学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理分析（成绩用表示，分四组：A．，B．，C．，D．．相关数据如下： 八年级C组学生成绩为：82，85，86，88，87，89，84 九年级学生成绩为：72，75，78，82，84，85，85，86，86，86， 87，88，89，90，91，92，93，94，97，98． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 86.9 865 43.1 八年级 84.8 79 48.6 根据以上信息解答： （1）填空：_____，_____； （2）结合统计量说明哪个年级劳动知识掌握更好？请结合两种统计量说明理由； （3）该校八、九年级各有600名学生参赛，估计这两个年级成绩优秀（）的学生总数． 22. 如图，分别是三边中线，交于点O，． 求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 23. 如图，一次函数的图象交x轴于A点，交y轴于C点，且，并与一次函数的图象交于点B，已知点B的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）请直接写出当时，自变量x的取值范围． 24. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) （2）试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． （3）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 25. 如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若点P在直线上，过点P作轴交于点Q，交x轴于点G，使，求此时P点坐标； （3）如图3，点P是直线上一动点，点Q是直线上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标． 26. 综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半． 【思路分享】 （1）兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路： ①小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到： ②小华：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到； ③小红：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到． 上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是____________（只要填序号）； 【深度探究】 （2）小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图1，在上分别取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到．通过推证，小强发现． 小强的证明过程 如图1，过点作，垂足为点，交于点，连接，则四边形均为矩形，． 所以，，即， 所以，． 请进一步探究：如图2，在矩形的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点，连接．求证：； 拓展运用】 （3）请解决该兴趣组提出的新问题：若，，能否用矩形纸片裁剪出等腰三角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期第二次联合测试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟练二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.当时，，代数式无意义，不是二次根式； B. 当时，代数式无意义，不是二次根式； C. 中的被开方数无论a为何值都是非负数，则是一定是二次根式，符合题意； D. 当时，，代数式无意义，不是二次根式； 故选：C． 2. 下列函数不是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如，其中是常数，且的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可知，A、B、C三个选项中的函数都是一次函数，D选项中的函数不是一次函数， 故选：D． 3. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是(　　) A. B. 且 C. 且 D. a为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，直接求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（其中）， 若该方程为一元二次方程，则需满足二次项系数不为零，即： 解得： 故选：A． 4. 在中，的对边分别为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】A、由，，可得，故为直角三角形； C、由，得，故为直角三角形； C、由，，得，，根据勾股定理的逆定理得，为直角三角形； D、由，设，，（其中）， ∵，故不是直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定与三角形内角和定理，掌握常用的判定方法是关键． 5. 若样本…，的平均数是5，方差是2，则样本，…，的平均数、方差分别是（　　） A. 5，2 B. 10，2 C. 10，4 D. 10，8 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵样本…，的平均数是5，方差是2， ∴，…，的平均数是，方差是， 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的变化规律是解题的关键． 6. 我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年10月新能源汽车销量约为万辆，2024年12月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均增长率问题，正确列方程解答是解题的关键．设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得， 故选：C． 7. 如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 8. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 关于x，y的方程组的解是 B. 方程的解是 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，逐一判断即可求解，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：A、两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是，则正确，故符合题意； B、一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是，则错误，故不符合题意； C、两直线的交点坐标为， 方程的解是，则错误，故不符合题意； D、两直线的交点坐标为， 不等式的解集是，则错误，故不符合题意； 故选A． 9. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③当P在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，，得到四边形为矩形，推出四边形为正方形，即可判断①； 过点作于点，根据题意得到，，根据折叠的性质和矩形性质推出，根据直角三角形性质得到，利用即可判断②； 连接，根据三角形三边关系得到，推出当时，取得最小值，利用勾股定理得到，根据，即可判断③； 根据已知条件推出、、三点共线，利用平行线性质和折叠的性质，结合等量代换得到，推出，根据勾股定理算出，推出即可判断④． 【详解】解：①四边形为矩形， ， 将沿折叠得到， ，，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形； ①正确； ②过点作于点， 点，点，， ，， ，， ， ， ， 的面积为， ②正确； ③连接， ，，当时，取得最小值， ，， ， ， 的最小值为， ③错误； ④， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ． ④错误； 综上所述，结论正确的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，30度所对直角边等于斜边的一半，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题． 10. 已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 由求根公式，得， ∴或， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴； 故选B． 二、填空题(本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 11. 一组数据：3，4，4，，5，5，9，其平均数是5，则众数是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、平均数等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．首先根据平均数的定义解得的值，再根据“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，该组数据的平均数是5， 则有， 解得， 所以，这组数据为3，4，4，5，5，5，9， 其中出现次数最多的是5，共计3次， 所以，众数是5． 故答案为：5． 12. 已知方程的两根分别为a和b，则的值为 ______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据一元二次方程根与系数的关系，得到，化简所求代数式，代入即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两根分别为a和b， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 13. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图形不经过第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形相关性质求出对应边的长度． 连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故答案为：． 15. 如图，一个弹簧不挂重物时长10，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：）关于所挂物体质量x（单位：）的函数图象如图所示，则图中a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可． 【详解】解：设一次函数的解析式：， 把，代入， 得， 解得， ， 把代入， 得， 故答案为：． 16. 如图，菱形周长为32，面积为36，P是对角线上一点，分别作P点到直线的垂线段，则等于_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等积法求线段的长，连接，根据菱形的性质，求出菱形的边长，推出，再根据等积法进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵菱形的周长为32，面积为36， ∴，， ∵分别作P点到直线的垂线段， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 如图，将函数图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】当时，直线解析式为，当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足，解答即可． 本题考查了一次函数的图象，交点问题，图象翻折问题，熟练掌握翻折问题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，直线解析式为， 当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足， 故当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 综上所述，当时，， 故答案为：． 18. 如图，O为正方形对角线的中点，将沿着过点C的直线l翻折，使点B的对应点E落在正方形的内部，连接，，，，若，．的长为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形折叠问题，全等三角形的性质与判定，中位线的性质；在上截取，连接，，证明，得到，根据中位线的性质即可得出的长． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接，， ∵将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部， ∴垂直平分，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A，E，F三点共线； ∵， ∴． 故答案为：2． 三、解答题(本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19. 计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1）； （2）0； （3），； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-公式法、解一元二次方程-因式分解法及二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则及公式法和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． （3）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． （4）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， 则， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ∴，， 解得，，． 20. 作图：在内作菱形． 要求：（1）用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法完成作图． （3）选择一种方法写出已知求证及证明过程． 选择方法_____． 已知： 求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：截取，首先由，得到为平行四边形，然后结合即可证明四边形为菱形； 方法二：连接，作出的垂直平分线与、分别相交于点H、G，由得到，然后由垂直平分线的性质得到，，等量代换得到，推出，得到四边形为平行四边形，然后结合即可得到四边形为菱形． 【详解】解：如图，四边形和四边形即为所作． 方法一： 已知：在中，， 求证：四边形为菱形． 证明：∵为平行四边形， ∴ 又∵ ∴为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； 方法二： 已知：在中，是的垂直平分线，且与、分别相交于点H、G， 求证：四边形为菱形． 证明：∵为平行四边形， ∴ ∴ ∵是的垂直平分线 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形 ∵ ∴四边形为菱形． 【点睛】此题考查了菱形的判定，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 为加强学生劳动教育实践，某校开展“劳动技能大比拼”知识竞赛活动，现从九年级和八年级参赛学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理分析（成绩用表示，分四组：A．，B．，C．，D．．相关数据如下： 八年级C组学生成绩为：82，85，86，88，87，89，84 九年级学生成绩为：72，75，78，82，84，85，85，86，86，86， 87，88，89，90，91，92，93，94，97，98． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 86.9 86.5 43.1 八年级 84.8 79 48.6 根据以上信息解答： （1）填空：_____，_____； （2）结合统计量说明哪个年级劳动知识掌握更好？请结合两种统计量说明理由； （3）该校八、九年级各有600名学生参赛，估计这两个年级成绩优秀（）的学生总数． 【答案】（1）84．5，86 （2）九年级劳动知识掌握更好．理由：九年级平均数和中位数都比八年级高任选两个方面说明即可） （3）750人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． （1）分别根据中位数、众数的意义即可求出a、b的值； （2）从平均数、方差角度比较得出结论（答案不唯一）； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级A组由：（人），B组有：（人），竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为84，85故中位数，在被抽取的九年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数； 故答案为：； 【小问2详解】 解：九年级成绩较好，理由：因为九年级学生成绩的平均数比八年级的高，九年级学生成绩的方差比八年级的方差小，成绩更稳定，所以九年级成绩较好； 【小问3详解】 解：样本中八年级有10人成绩优秀，九年级有15人成绩优秀，（人）， 估计这两个年级成绩优秀的学生总数为750人． 22. 如图，分别是三边中线，交于点O，． 求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定及性质，中位线性质等，掌握平行四边形判定及性质，中位线性质是解题的关键． （1）根据题意连接，先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形性质可得； （2）证明四边形是平行四边形，继而得到，再利用中位线性质即可得到本题答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵F是中点， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵分别是三边中线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23. 如图，一次函数的图象交x轴于A点，交y轴于C点，且，并与一次函数的图象交于点B，已知点B的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）请直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）一次函数解析式； （2）25； （3）自变量x的取值范围为． 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象求解不等式解集，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法代入即可确定函数解析式； （2）根据题意得出结合图形求面积即可； （3）结合图象及交点求不等式解集即可． 【小问1详解】 解：， ， ∵点的横坐标为，且在一次函数的图象上， ， ， 将代入得 ，解得 ， ∴一次函数解析式； 【小问2详解】 解：由（1）可知 当 时，， ， ； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时， 直线的图象在的图象的下方， 所以 时， 自变量的取值范围为． 24. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) （2）试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． （3）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）； （2）2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为； （3）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后月销售量为件； （2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可； （3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 25. 如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若点P在直线上，过点P作轴交于点Q，交x轴于点G，使，求此时P点的坐标； （3）如图3，点P是直线上一动点，点Q是直线上一动点，点E是坐标平面内一点，若以点C、P、Q、E为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设，则 ， ，根据建立方程求解即可得出答案； （3）设，，分四种情况：当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，可证，可得，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，再建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于，可证得，得出，，再建立方程组求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵直线：经过点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得： ，解得：， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：设，则 ， ， ，， ， ，解得：或， 点的坐标为或． 【小问3详解】 解：设，， 当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点， 则，，，，， 四边形正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得： 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于， 则，，，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数解析式、三角形面积、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键． 26. 综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半． 【思路分享】 （1）兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路： ①小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到： ②小华：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到； ③小红：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到． 上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是____________（只要填序号）； 【深度探究】 （2）小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图1，在上分别取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到．通过推证，小强发现． 小强的证明过程 如图1，过点作，垂足为点，交于点，连接，则四边形均为矩形，． 所以，，即， 所以，． 请进一步探究：如图2，在矩形的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）请解决该兴趣组提出的新问题：若，，能否用矩形纸片裁剪出等腰三角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①②③；（2）见解析；（3）能，等腰三角形的腰长是或或． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的性质等知识． （1）根据三角形面积公式和矩形面积公式，计算即可判断； （2）过点作，垂足为点，交于点，连接，，妨照例题证明即可； （3）分三种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到，如图， ； ②小华：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到，如图， ； ③小红：在上取一点，分别沿所在的直线裁剪，得到，如图， ； 综上，①②③都符合题意； 故答案为：①②③； （2）过点作，垂足为点，交于点，连接，， 则四边形均为矩形，． 所以，，即， 所以，． （3）取的中点，则； ∵，， ∴， ∴； 取的中点，则； ∵，， ∴， ∴； 在上取一点，使，则； ∴； 综上，等腰三角形的腰长是或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$