(九)抛物线-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考人教A版）

12.(本小题满分15分) 13,4本小题清分20分) 已知平面直角坐标系内的动点P(x,y)恒满足：点P到定点(2,0)的电离与它到定 过点Q一2,0)的直线与抛物线C-4r交于A(),B(工，为两点，P为抛物 直线十2=0的距离相等，记动点P的轨迹为曲线C. 线C上异于A,B的一点，直线PA,PB分别与直线：x=a交于点Ma, (1)求曲线C的方程： N(dy).D为坐标眼点， (2)过点(8,0)的直线1与曲线C交于A,B两点，)为坐标原点，证明：(41（思 ①O,0丽：巴右-言+去，其巾，分别是直线0A,AB,0B的斜率： @AF·|BF一(AF|+BF),其中F为地物线C的焦点，请从①②③中任选 一个，适明其结果为定值： (2)若3为为=3·求实数a的值 注：知果选择多个条件分别解答，薄按第一个解答计分， 数学（人较A级！选挥性必传第一质第8页{共{西1 衡水会幕·究草最·喜二回步丽测卷九 数学（人较N短}选择性必悟第一册第4页[共4页）高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第一册（九） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 1.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W,空间想象能力V.数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 知识点 题型 (主题内容) ① ③④ ⑧ 档次系数 1 选择题 求抛物线的焦点坐标 易 0.80 2 选择题 5 抛物线的开口大小 易 0.72 3 选择题 5 利用抛物线上点的范 易 0.70 围求最值 椭圆与抛物线的图象 选择题 5 识别 的 0.55 选择题 5 抛物线的实际应用 0.45 选择题 抛物线与向量的综合 中 0.30 选择题 由抛物线的焦点求其 易0.75 方程 L 8 选择题 6 抛物线的光学性质 难0.28 9 填空题 点到抛物线的准线的 有 0.71 距离 10 填空题 利用抛物线的性质求 最值 公 0.45 利用抛物线的标准方 11 解答题 13 程求点的坐标及中点 中0.60 弦问题 利用抛物线的定义求 12 解答题 15 轨迹方程，利用韦达定 名 0.45 理解决垂直问题 解答题 直线与抛物线的位置 13 20 0.28 关系，定值问题 难 ·39· ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 作AD⊥1.BE⊥I,垂足分别为D,E,则|AD=|AF, 1.D【解析】抛物线方程可转化为=子，放焦点在 BE=|BF|,所以|AD|=3BE,又Rt△ACD y轴正半轴上，又2p=十，故焦点坐标为(0，。），故 R△BCE,则G-器-寸所以ABC BC 选D. =3,所以A5=2.即Ai=2B心，故4=2.故选B BCI 2.A【解析】对于抛物线的标准方程，若一次项的系数 二、选择题 的绝对值越小，则抛物线的开口越小，四个选项中，A 7.BD【解析】易知直线，x一2y+3=0与坐标轴的交 选项的抛物线=号：的一次项系数的绝对值最 点分别为(-3,0).(0，号），当焦点为(-3,0)时， 小.故选A 3.C【解析】因为点(x,y)在抛物线y2=4.x上，所以 可知抛物线方程为=-12，当焦点为(0.号)时， =4r,≥0，则e=r+y+3=7+2r+3=(+ 可知抛物线方程为x2=6y.故选BD, 8.ACD【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB 1)+2,所以当x=0时，x最小，最小值为3.故选C. 过抛物线的焦点F(1,0),设直线AB的方程为x= 4.D【解析】由a>b>0,知方程兰十若=1表示焦点 1y+1,联立 y4r,得y-4-4=0,4 x=ty+I 在y轴上的椭圆，由ar+by=0,得y=一 6x,因为 16(产十1)>0，所以y1为=-4，y1十=4t,所以 一号<0，所以方程a十6y=0表示熊点在x轴上 =普·装-1，故Λ正确：若点A()关于 轴对称的点在直线上，则”=一y,所以|y一 且开口向左的抛物线.故选D, =2,即|n=2,不一定成立，故不合题意，故B 5,C【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 错误：直线l与直线x=一1相交于点D(一1，”)， 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以直线OD的斜率为kD=一为·又直线OA的斜 率kn=兰-头-4=一为，所以km=km,所以A, i yiyi O,D三点共线，故C正确：直线4与间的距离d= 依题意可得A(号，3)，设抛物线的方程为r=2p |y-为|=√(y十为)-41为=√16r+16≥4， 当=0时，d取最小值4，故D正确.故选ACD. (p>0),则头=6p,解得p=号，所以抛物线的方程 为.x2=27 ，可设B(受小，代人抛物线方程得号 头，解得1=日，所以该杯盏的高度为3-号+1 11 cm.故选C. 6.B【解析】由题设知A,F,B,C四点共线，且A户 3FB.如图， 三、填空题 【解析】抛物线=一2x的准线方程为x■豆，点 M(一40)到直线一的距离为刻-号引-号 9 10.6【解析】抛物线x=4y的准线方程为y=一1，根 据圆C的方程得圆心C的坐标为（一1,6），半径r =1,如图所示， ·40 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 所以Oi.O苑-n十y为=64-64=0，(13分) 故OA⊥Oi.即OA⊥OB. (15分) 13.解：(1)由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直 线AB的方程为y=k(x十2)，k≠0， 联立. 消去x,得ky一4y+8k=0, 过点M作MP垂直于抛物线的准线于点P,根据抛 4=16(1-2)>0,所以2<2且≠0， (4分) 物线的性质得|MA|+|MF|=|MA|+|MP|, 所以”为=8，西=正= (6分) 当A,M,P三点共线，且点A在线段CM上时， 16 |MA|+|MF|取得最小值，最小值为6+1一1 选①：0i.O求=12十为=12，为定值.(8分) =6. 四、解答题 选@：日名十方费费+是 11.解：设A(x1y,B(x,y) =兰-”兰+兰=0，为定值。 4 (8分) (1)由抛物线的定义可知，|AF|=十号=m+2 2 选③：|AF|·|BF|-(|AF|+|BF|)= =5, (x1十1)（十1）-(1十十2)=3，为定值. 解得1=3， (3分) (8分) 将x1=3代人y2=8.x,得y=士26， (4分) (2)设P(x0)%≠士yy≠士y, 所以点A的坐标为(3，士2) (5分) 则直线PA的斜率k4=二义=4 (2)因为线段AB的中点为N(6,4): To一t1十y1 所以x1十x:=12,为十y2=8, (7分) 所以直线PA的方程为y=4(x一，)十y, y0十y1 又 即y一十 y 4十yy十y。+十 十y 两式相减，得二业= 8 =1, 4r十%y1 x1一x2h+ (9分) yo+y 所以直线AB的斜率为km=兰二兰=1， 4a十yo 工1一C2 令x=a,则y y%十1 所以直线AB的方程为y一4=1×(x-6), 即x-y-2=0. (13分) 同理”=a十当 %十为 (12分) 12.解：(1)由题及抛物线的定义可知，点P的轨迹为以 F(2,0)为焦点，准线方程为x十2=0的抛物线， 所以y=0十义.如+兰=为=8， %十y1 y%十3 (4分) (14分) 故曲线C的方程为y2=8x (6分) 所以(4a+y)(4a+wy)= (2)由(1)得，曲线C的方程为y=8.. 8(十)（十）， 由题可知，直线1的斜率不为0， 所以16a+4a%(y+y:)+yy4= 设l:x=my+8, 8+8%(1十为)+813， 联立g8得了-8my-6=0 (8分) 又y1为=8， 所以16(a-4)+4%(1+2)(a-2)=0, △=64m2+4×64>0, (9分) (17分) 设A(x),B(为) 由点A,B,P的任意性知，a-2=0且a2一4=0， 则为=-6=普·普=6， (11分) (19分) 所以a=2. (20分) ·41·