(二)空间向量的应用-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考人教A版）

高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第一册（二） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象 ⑤数学运算⑩数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ②③ ④ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由线面垂直求参 易 0.80 2 选择题 5 求平面的法向量 易 0.72 3 利用空问向量判断三 选择题 易 0.70 角形形状 4 选择题 利用空间向量求线 5 面距 中 0.55 选择题 二面角，利用空间向量 书 0.45 求线段的长 6 选择题 5 利用空间向量求线面 角的正弦值 V 中 0.30 7 选择题 利用空间向量判断位 6 置关系 易 0.70 利用空间向量解决存 选择题 0.28 在性问题 9 填空题 5 求两平面间的距离 易 0.71 10 填空题 由线面平行求线段长 0.45 度的最值 书 11 解答题 13 利用空间向量求点线 距，证明线面垂直 L 中 0.60 12 解答题 15 利用空间向量证明线 线平行，求二面角 的 0.45 利用空间向量求异面 解答题 直线所成角的余弦值， 13 20 由线面角的正弦值确 中 0.30 定点的位置 ·5· ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考管案及解析 一、选择题 BD丈平面EFDB:,B.DC平面EFD1B,所以BD 1.B【解析】因为1山a,所以m/,所以号= ∥平面EFD,B,所以直线BD到平面EFD1B:的距 离即为点B到平面EFD,B,的距离，所以直线 千，解得1=一2.故选B, BD到平面EFD,B的距离d= E第：nl= n 2.C【解析】由题可得a与b不平行，设平面a的一个 法向量为n=(x,y,:),则 /a·n=2x+3y+z=0 ×(-2) 1 b·n=5r+6y十4z=0 令=1，得x=一2，y=1,所以n=(-2,1,1).故 一2)+2方=子放选D. 5.C【解析】由题得CD-CA+AB+Bi,且CA⊥AB 选C, 3.C【解析】：M为BC的中点，AM=号(Ai+ 筋1A成，，市》=元-号-号，所以市 (CA+AB+BD)*=CA+AB:+BD:+2CA.AB AC,AM,A市=号(Ai+A)·A市=分Ai· +2BD.AB+2CA·BD=1'+(W5)+2+0+0 AD+号AC.AD=0,∴AMLAD,:△AMD为直 +2×1×2×(-号)=6，所以1Ci1=5,即CD的 角三角形.故选C 长为V6.故选C. D 6.D.【解析】在半圆柱下底面半圆所在平面内过点A 作直线AB的垂线，因为AA垂直于半圆柱下底面 半圆所在平面，所以以A为原点，AB,AA所在直线 分别为y轴、：轴建立如图所示的空间直角坐标系， 4.D【解析】以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分 别为x轴、y轴、：轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 则C(0,3,0),D(0,1,0),B(04,3),又因为E为 AB的中点，则E(2,2,3),故B1E=(2,-2,0), BD=(0,-3,-3),CE=(2.-1,3),设平面DEB,的 B,E·n=2x-2y=0 法向量为n=(xy),则8方·n=-3y一3：=0 令x=1,得y=1=-1,则n=(1,1,-1),设直线CE 则B1,1,0),E(分1.0)B1,1,1),D(0,0.1) 与平面DEB,所成的角为9，则sn=|cos(CE,n)1= C龙.nl |2-1-3 所以Ei=（号，0,0），BD=(-1,-1,0),B它 1CE1n√2+（-1)+3×√/+1+(-1) 2 (-号，0，-1），设平面EFD,B,的法向量为n=(x 2 X/3 21 ,所以直线CE与平面DEB:所 1n·BD=0 -x-y=0 y,z),则 x-=0令=1，得 成角的正弦值为 2故选D 二、选择题 x=-2,y=2.则n=(-2,2,1),因为BD∥BD, 7.AB 【解析】因为m=(一1，一1,1)，n= ·6- 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· (1,1,一1)，所以m=一n,所以a∥B,故A正确：因 三、填空题 为c·n=0,l过3，所以（∥B,故B正确：因为c·m= 0,所以l∥a或lCa,故C错误：因为m·n=一3≠0， 号 【解析】因为a∥3，所以平面a到平面3的距离 所以平面a与不互相垂直，故D错误，故选AB. 即为点O到平面B的距离，因为OA=(2,1,1),所以 8.ABD【解析】将半正多面体补成一个棱长为2的正 方体，则半正多面体的所有顶点都是正方体的棱的中 平面Q到平面g的距离d=n:= n 点，以O为原点，过O的三条棱所在直线分别为x 1-1×2+0×1+1×1山= 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， √/(-1)+0+1F 2 10.厘 【解析】以A为原点，AB,AD,AA:所在直 线分别为x轴，y轴，：轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则A(2,1,0),F(2,2,1),B(1,0,2),C(0,1,2) D(1,2,2),对于A项，当点E与点C重合时，FD D (-1,0,1),AE=(-2,0,2),则AE=2FD,又因为 A,F,D,E四点不共线，则AE∥DF,则A,F,D,E四 点共面，故A正确：对于B项，当点E与点B重合时， 则A(0,0,1),B(1.01),M(0,号0)N(1,0, DE=(0,-2,0),则DE·Fb=0,即DE⊥DF,故B 正确：对于C项，设B砣=ABC,A∈[0,1]，则D元 ),C1,1,0).因为动点P在底面正方形ABCD Di+B2=Di+aBC=(0,-2.0)+a(-1.1,0) 内（包括边界）运动，则设P(x,y,0),x,y∈[0,1]， (一A,入一2,0)，设平面CDF的法向量为n= 所以BP=(x-1,y,-1),设平面AMN的法向量 (xy),Ci=(11,0),C求=(2,1，-1)，则 为n=(a,6e),又A=(1,0.-2）,Ai- /n·CD=x十y=0 n·CF=2x+y-=0 令x=1,得y=-1,x=1,则 A n=a-tc=0 ,令c=2,得 n=(1,一1,1)，设直线DE与平面CDF所成的角为9， (0-1，则 A.M.n-20-c=0 则in9=,n·D -A+2-A |n·1DE3X√/(-a)+(a-2)万 a=1,b=4,则n=(1,4,2),因为BP∥平面 A1MN,所以B,P·n=(x-1y,-1)·(1,42)= 乞，化简得-2x+10=0,4=4-40=-36<0. x-1+4y-2=0,即x+4y-3=0,则x=-4y+3 此方程无解，故不存在点E,使得直线DE与平面 ∈[01门，所以ye[合，是]1 CDF所成的角为号，放C错误：对于D项，A萨 √(x-1)+(y-1)+0=√17y-18y+5 (01,1),由C项可知，D元=(-XA-2,0),所 √7（一号）+音，由二次函数的性质可得当，y 以|cos(AF,DE1= IAF.DEI AFI·DE 时，=名：当y=时，=厘，因为 |A-2 3 2·(-)+(-2) 10 ,整理可得2+A 平>，所以CP长度的最大值为平 1=0,因为λ∈[0,1]，所以1= 方，即当点E为BC 四、解答题 11.解：(1)以D为原点，DA,DC.DD,所在直线分别为 的中点时，直线DE与直线AF所成角的余弦值为 x轴，y轴、：轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 35,故D正确.故选ABD, 10 7 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 所以AE∥G式，即AE∥GC (7分》 D (2)EF=(0,2,0), 设平面AEF的法向量为n=(xy,x), 则n,A-x-y厂=0 n·EF=2y=0 取x=1,则y=0,=3, 所以n=(1,05) (11分) 易知AA=(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量. (12分) 设平面A,EF与平面ABCD的夹角为9， 则D1(0,0,4),E(0,2,1),F(1,1,0)C(0,2,0), m0=aw1=黑-鎘 B(2,2,0),A(2,0,4),D(0,0,0) 所以ED=(0,-2,3).EF=(1,-1,-1),(4分) - 29 则点D到直线EF的距离为d 所以平面A,EF与平面ABCD的夹角为若 3 (15分) 13.解：(1)以A为原点，AB,AD,AF所在直线分别为x (6分) 轴y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， (2)由(1)可得AC=(-2,2,-4),Di=(2,2,0), DE=(0,2.1) 因为A,C·DB=-2X2+2×2=0,A,C.DE=2× 2+(-4)×1=0, 所以AC⊥DB,AC⊥DE (11分) 又DB∩DE=D,DB,DEC平面BDE, 所以AC⊥平面BDE. (13分) 不妨设AB=1, 12.解：取BC的中点H,连接AH,AC, 则B(1,0,0),C(1.1.0),D(0,3,0),F(0,0,1) 因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=西 E(0,1,1),A(0,0,0), 所以△ABC为等边三角形， 所以B萨=(-1,0,1)，D2=(0,-2,1),C市= 所以AH⊥BC, (-1,2,0),CE=(-1,0,1). (4分) 又BC∥AD,所以AH⊥AD, (2分) 设异面直线BF与DE所成的角为a, 易知AA1⊥平面ABCD, 所以AH,AD,AA两两垂直， w=成.-离 则以A为原点，AH,AD,AA所在直线分别为x 轴y轴、：轴建立如图所示的空何直角坐标系， =0 10 所以异面直线BF与DE所成角的余弦值为 10 (10分) (2)设平面CDE的法向量为n=(x,yz), 则/，市-0 m·证=0即 -x+2y=0 -2y+z=0 令y=1,得x=2,=2,故n=(2,1,2),(12分) 则A(0,0,0),A(0,0,2),E(5,-1,1),G(0,2, 设存在点M(x,y,a)满足条件， 1),C(5,1,0),F(3,1,1) (4分》 由CM=ACE,A∈[0,1]，得x=1-A,y=1, 1=A, (1)因为AE=(W5,-1,-1),GC=(W3,-1,-1), 故M(1一a,1A), ·8 所以AM=(1-x,1,A). (14分) 整理得4以一4入十1=0，a∈[0,1]， 设直线AM与平面CDE所成的角为9， 解得入=之 (18分) 所以i血0=0sA7m1=A立.n AM 故当点M为CE的中点时，直线AM与平面CDE 2(1-A)+1+2λ6 所成角的正弦值为。 (20分) 3×√1-λ)+1+x 3高二同步周测卷/数学选择性必修第一册 《二1空间向量的应用 (考试时时40分钟，离分100分》 一，选择盟（本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个达项中，只有 项是符合题目要求的) ,已知直线4的一个方向向量为m=(一1,2,1)，平面a的一个法向量为#= (2,一4，)2∈R),若/⊥ù，则/曰 A.-10 且一2 C.2 D.10 2.已知平面：内的两个向量分判为a一2,3,1)，b一(5,6,4)，划学面：的一个法向量为 A,(1,-1,1) 且12.-1.11C.-2,1,1)D.《-1,1,1） 3,已知A.B,C.D是空间不其面的四点.端是Ai·AC=0,AC·AD=0,AB,AD=0, M为BC的中点，则△AD的形状为 A.等授三角形技锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 4,在棱长为1的正方体ABD一A,BCD中，E,F分别是C,CD的中点，期直线BD 到平而EFDB,的距离为 A A号 c D 五如图，二面角一（一月的大小为营，在平面#与日的交线1上报线段AB一，线段 AC,D分别在平面a,3内.且AC⊥，DL,若AC一1，D一2，则CD的长为 A.6 且10 C,0 D.10 低，古代城油中的瓷城”，又叫“曲迪”，是加装在城门前面或里面的义一层门，若敌人或 入瓮城中，可形成“凳中提繁”之势.如图的“曲泡”是上，下底面均为半圆形的柱体，若 AA,垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，AA=3,AB=4,CD=2,E为AB的中 点，则直线CE与平面DEB,所成角的正弦值为 一越楼 21 A23 C.2 21 D. 21 位学（人校A贩》法择性必修氧一腰第1页（共4面引 而水金卷·先度丽 二、港择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 圈目要求。全第选对的得6分，深分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知平面：2的法向量分别为m=(一1，一1,1)，a=(1.1.一1)，直线（的方向向量 为c=(1,0,1》,且亡3.则下列结论正确的是 A.m∥3 且1∥a C.La D.o18 :.立体儿何中有基多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面休是由两种或两 种以上的正多边形圆成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被 你作阿基米德体.如图，这是一个棱数为4，棱长为、2的半正多面体，它的所有顶点 都在同一个正体的表面上，可以若成是由一个正方体载去八个一样的四面体所得， 若点E为棱BC上的动点，期下判说法正确的是 A,存在点E,处得A,F,D,E四点共面 B年在点E,使得DE⊥DF C.存在点E.使得直线DE与平面CDF所成角为景 D存在点，使得直线DE与直线AF所成角的余弦值为治 班级 姓名 分数 遵号 1 答睾 三、填空题（本题北2小题，每小题5分，共10分） 9.若平面…3分别经过坐标原点O和点A2,1,1),a∥3.且两平面的一个法向量为 (一1,0,1》，则平面“到平面3的距离为 10.在棱长为1的正方体ABCD一A,BC)中，M,N分别是AD,B,B的中点，动点P 在底面正方形A(D内（包括边界）运动，若BP∥平面AN,划CP长度的最大 值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写指必要的文字说明，证明过程或演算步蜜） 11.(本小题调分13分) 在正四棱柱ABCD一ABCD,中，AA,=2AB=4,点E在棱C℃，上，且C 下，点F为D的中点， (1)求点D,到直线EF的E离： (2)求证：A,C⊥平面BDE. 高二网步周测移已 监学（人较A版）透择性多耀第一面氧2面（具4面） 12.(本小题满分15分) 13,(本小题满分20分》 如图，在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A,,CD中，∠队D-爱Ad,一AB 如图，在五面体ABCDEF中，AF⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,AF=AB 2,E.F,G分别是BB1.CCDD的中点 =BC=FE=号D, (I)求证，AE∥GC, (1)求异面直线BF与DE所成角的余弦值： (2)求平mA:EF与平面ABD夹角的大小 (②)在花CE上是香存在点M,使直线AM与半面CDE所成角的正弦值为？若 存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由， 数学（人较A贩》选择性必修第一腰第3西（其4面} 衡水金参·先摩·商二网步周测卷已 蓝学（人较A版）透择性必修第一雷算4面（具4面}