【计算天天练】第17讲 找规律问题 2025-2026学年苏科版数学七年级上册（江苏省适用）

第17讲 找规律问题 ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第一课时：数字规律 1．观察一列数：﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，﹣13，……按照这列数的排列规律，你认为第n个 数应该是　 　． 2．观察列数：﹣2，8，﹣32，128……按照这列数的排列规律，第n个数应该是　 　． 3．观察下列一组数：﹣1，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的 第n个数是　 　． 4．有一组数：﹣，，﹣，，﹣…，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个 数是　 　． 5．72020+1的个位数字是　 　． 6．观察式子：71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649、…，请你判断 72019的结果的个位数是　 　． 7．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律 可得，7+71+72+…+72019+72020的结果的个位数是　 　． 8．为了求1+22+23+…+22008的值，可令S＝1+22+23+…+22008，则2S＝2+22+23+24+…+22009， 因此2S﹣S＝22009﹣1，所以1+22+23+…+22008＝22009﹣1．请仿照以上推理计算出 1+4+42+43+44+…+42019的值是　 　． 9.观察下列算式的规律21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256， 根据上述的规律，你认为2204的末位数字应该为　 　． 10．观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这 一组数的第n个数是　 　． 11．观察下面两行数 第一行：4，﹣9，16，﹣25，36，… 第二行：6，﹣7，18，﹣23，38，… 则第二行中的第6个数是　 　；第n个数是　 　． 12.观察下列各式，找规律，第n个等式是　 　．（n是正整数） ①32﹣12＝4×2；②42﹣22＝4×3；③52﹣32＝4×4；④62﹣42＝4×5， 13．由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，那么32017﹣31011的末位数字是　 　 14.若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的 “哈利数”是＝，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”， a4是a3的“哈利数”，…依此类推，则a999＝　 　． 15.按如下的方法构造一个多位数：先任意写一个整数n(0<n<10)作为第一位上的数字，将这个 整数n乘以3，若积为一位数，则将其作为第2位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作 为第2位上的数字；再将第2位上的数字乘以3，若积为一位数，则将其作为第3位上的数字， 若积为两位数，则将其个位数字作为第3位上的数字；…，以此类推，若先任意写的一个整数n 为7作为第一位上的数字，进行2 020次如上操作后得到了第2 021位上的数字，则第2 021位 上的数字是　 　． 16.观察下列等式，请解答下列问题： 第1个等式：a1＝＝×，第2个等式：a2＝＝×， 第3个等式：a3＝＝×，… (1)按以上规律列出第4个等式：a4＝________＝________； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝____(n为正整数)； (3)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 021的值． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第二课时：图形规律 1．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形 中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…， 以此类推，则a19的值为　 　． 2．如图，用菱形纸片按照如下规律拼成下列图案，若第n个图案中有2021张纸片，则n的值 为　 　． 3．如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放而成，按此规律，则第n个图形中圆点的个数 为　 　． 4．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2020应在　 　． A．A位 B．B位 C．C位 D．D位 5．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形”解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此“三角形”称为“杨辉三角”．如（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2 +b2其展开式的系数从左起依次是1，3，3，1，请根据“杨辉三角”计算（a+b）8的展开式中从 左起第四项的系数为　 　． 6．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…如图所示排列，根据图中的排列规律可知，“峰1” 中封顶的位置（C的位置）是有理数4，“峰2”中封顶的位置（C的位置）是有理数﹣9，按此规 律排列，2020应排在A，B，C，D，E中 的位置． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第三课时：程序题中的规律 1．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2次输出的结 果为4，第3次输出的结果为2，…，第2019次输出的结果为　 　． 2．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为﹣48，我们发现第1次输出的结果为﹣24， 第2次输出的结果为﹣12，……，第2021次输出的结果为　 　． 3．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果 是6，依次继续下去…，第2021次输出的结果是　 　． 4．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16， 第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2021次输出的结果是　 　． 5．按下面图示的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为11，则满足条件的 正数x有　 　个 6．按下面的程序计算，若输入m=20，输出结果是82；若输入m=5，输出结果是90．若开始输入 的数m为正整数，最后输出的结果为58，则开始输入的数m的所有可能的值为　 　． 第一课时：数字规律 参考答案 1.【解答】解：∵一列数：﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，﹣13，…， ∴这列数的第n个数为：（﹣1）n（2n﹣1）， 2.【解答】解：﹣2＝（﹣1）1×22×1﹣1； 8＝（﹣1）2×22×2﹣1； ﹣32＝（﹣1）3×22×3﹣1； 128＝（﹣1）4×22×4﹣1； …… 由上可知，第n个数为：（﹣1）n•22n﹣1． 3.【解答】解：∵﹣1，，，，，…， ∴第n个数为：（﹣1）n． 4.【解答】解：∵有一组数：﹣，，﹣，，﹣…， ∴第n个数为（﹣1）n•， 5.【解答】解：∵71＝7， 72＝49， 73＝343， 74＝2401， 75＝16807， …， ∴这列数的个位数字依次以7，9，3，1循环出现， ∵2020÷4＝505， ∴72020的个位数字是1， ∴72020+1的个位数字是2， 6.【解答】解：∵71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649、…， ∴个位数字以7、9、3、1这4个数字一循环， ∴2019÷4＝504…3， ∴72019的个位数字与73的个位数字相同是3． 7.【解答】解：由71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，可得：个位数4个数一循环，且4个数一循环的个位数字之和为7+9+3+1＝20， ∵2020÷4＝505， ∴7+71+72+…+72020＝7+505×0＝7， 8.【解答】解：令S＝1+4+42+43+44+…+42019， ∴4S＝4+42+43+44+45+…+42020， ∴4S﹣S＝42020﹣1， ∴3S＝42020﹣1， ∴． 9.【解答】解：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环， 所以204÷4＝51， 则2204的末位数字与24的相同是6． 10.【解答】解：根据题意得：这一组数的第n个数是（﹣1）n． 故答案为：（﹣1）n． 11.【解答】解：根据观察的规律，得 第二行中的第6个数是﹣（6+1）2+2＝﹣47； 第n个数是 （﹣1）n+1（n+1）2+2； 故答案为：﹣47，（﹣1）n+1（n+1）2+2． 12.【解答】解：∵①32﹣12＝4×2； ②42﹣22＝4×3； ③52﹣32＝4×4； ④62﹣42＝4×5， …， ∴第n个等式为（n+2）2﹣n2＝4（n+1）． 故答案为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）． 13.【解答】解：已知31＝3，末位数字为3， 32＝9，末位数字为9， 33＝27，末位数字为7， 34＝81，末位数字为1， 35＝243，末位数字为3， 36＝729，末位数字为9， 37＝2187，末位数字为7， 38＝6561，末位数字为1， … 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又∵2017÷4＝504…1，1011÷4＝252…3， ∴32017的末位数字为3与31011的末位数字为7， 则32017﹣31011的末位数字是6， 14.【解答】解：由题意可得， a1＝3， a2＝＝﹣2， a3＝＝， a4＝＝， a5＝＝3， …， 由上可得，这列数依次以3，﹣2，，循环出现， ∵999÷4＝249…3， ∴a999＝， 故答案为： 15.【解答】解：进行第一次操作，7×3=21，积是两位数，所以得到的数是71； 进行第二次操作，1×3=3，积是一位数，所以得到的数是713； 进行第三次操作，3×3=9，积是一位数，所以得到的数是7139； 进行第四次操作，9×3=27，积是两位数，所以得到的数是71397； 进行第五次操作，7×3=21，积是两位数，所以得到的数是713971； 进行第六次操作，1×3=3，积是一位数，所以得到的数是7139713； 进行第七次操作，3×9=27，积是两位数，所以得到的数是71397139； 此时，根据以上规律，可以发现这个数是以7139四位数为周期循环出现； 所以，第2021次操作后：2022÷4=505…2，意思是进行2021次操作后，7139已经完整循环了505次，还余下2次，而第2022位上应是下一个循环的开头的数字1． 16.解：(1)　×. (2)＝. (3)a1＋a2＋a3＋…＋a2 021 ＝×＋×＋…＋× ＝× ＝× ＝. 第二课时：图形规律 参考答案 1.【解答】解：由图知a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…， ∴an＝n（n+2）， 当n＝19时，a19＝19×21＝399， 2.【解答】解：由图知，第一个图案中有5张菱形纸片，以后每个图案都比前一个多4张菱形纸片， 故第n个图形中有（4n+1）张菱形纸片， 由图知4n+1＝2021， 解得n＝505， 3.【解答】解：观察图形的变化可知： 第1个图形中圆点的个数为4+1＝5； 第2个图形中圆点的个数为4×2+1＝9； 第3个图形中圆点的个数为4×3+1＝13； … 发现规律， 则第n个图形中圆点的个数为（4n+1）． 4.【解答】解：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位． 2020÷4＝505， 所以2020排在C位． 5.【解答】解：根据“杨辉三角”得： （a+b）7的展开式中的系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1， （a+b）8的展开式中的系数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 则（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为56， 6.【解答】解：由图可知， 奇数为负值，偶数为正值，每个峰中有5个数据， ∵（2020﹣1）÷5＝2019÷5＝403…4， ∴2020应排在D的位置 第三课时：程序题中的规律 参考答案 1.【解答】解：由题意可得， 第一次输出的结果为8， 第二次输出的结果为4， 第三次输出的结果为2， 第四次输出的结果为1， 第五次输出的结果为4， …， ∵（2019﹣1）÷3＝2018÷3＝672…2， ∴第2019次输出的结果为2， 2.【解答】解：由题意可得， 第一次输出的结果为：﹣24， 第二次输出的结果为：﹣12， 第三次输出的结果为：﹣6， 第四次输出的结果为：﹣3， 第五次输出的结果为：﹣6， …， ∵（2021﹣2）÷2＝2019÷2＝1009…1， ∴第2021次输出的结果为﹣6， 3.【解答】解：根据题意可知： 开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12， 第2次输出的结果是6， 第3次输出的结果是3， 第4次输出的结果是8， 第5次输出的结果是4， 第6次输出的结果是2， 第7次输出的结果是1， 第8次输出的结果是6， 依次继续下去， …， 发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环， 因为（2021﹣1）÷6＝336…4， 所以第2021次输出的结果与第5次输出的结果一样是4． 4.解：把x=5代入，x为奇数走上面，得到输出16； 再循环输入x=16，x为偶数走下面，得到输出8； 再循环输入x=8，x为偶数走下面，得到输出4； 再循环输入x=4，x为偶数走下面，得到输出2； 再循环输入x=2，x为偶数走下面，得到输出1； 再循环输入x=1，x为奇数走下面，得到输出4； 再循环输入x=4，x为偶数走下面，得到输出2； 再循环输入x=2，x为偶数走下面，得到输出1； 再循环输入x=1，x为奇数走下面，得到输出4； 除去前两次循环可以发现后面每三次为一个周期，想要得到第2021次输出结果相当于循环（2021-2）÷3=673．即第2021次输出结果刚好是循环第673组的最后一个，即第2021次输出结果为1． 5.解：∵2×5+1=11， ∴开始输入的值x为5时，最后输出的结果为11， 由程序图可知，当第一次输出的结果为5时，再重新输入后输出的结果为11， ∵2×2+1=5， ∴开始输入的值x为2时，最后输出的结果为11， ∵2×+1=2， ∴开始输入的值x为时，最后输出的结果为11， 综上，开始输入的值x为5或2或时，最后输出的结果为11，由3个 6.解：∵输出的结果是58，∴4m+2=58，解得m=14．∴开始输入的m可以为14． ∵14＜55，4m+2=14，解得m=3．∴开始输入的m可以为3． ∵3＜55，4m+2=3，解得m=（不合题意，舍去）． ∴开始输入的m的值可能为3或14．故答案为：3或14． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$