21.6综合与实践获取最大利润 教学设计 2025—2026学年沪科版数学九年级上册

本文围绕“获取最大利润”展开，聚焦运用二次函数解决商品销售利润问题。承接二次函数知识背景，为学生解决实际问题奠基。通过分析销售案例，培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养。 该设计创新点在于以实际销售问题为载体，采用案例教学法。学生层面提升解决实际问题能力，教师层面提供清晰授课路径，课堂效果上有效突破确定自变量取值范围等教学难点。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 21.6综合与实践获取最大利润 教科书 书名：义务教育教科书数学（九年级上册） 教学目标 1能够分析和表示销售问题中变量之间的函数关系，并运用函数的知识求出最大利润问题,培养学生解决问题的能力。 2应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。 3在经历和体验数学知识发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心。 教学重难点 教学重点： 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题。 教学难点： 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围。 教学过程 1、 复习引入 1.二次函数学习内容回顾：顶点式、对称轴、顶点、最值 2.在日常生活中有许许多多的与数学知识有关的实际问题，商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求(利润的计算公式）。如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 2、 讲授新课 一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、建造厂房、购置设备、培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用。例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以近似的表述为 其中1000元是固定成本，120t表示可变成本 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量t和产品的销售单价x的乘积，设R表示年总收入，则 ② 制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品的总成本之间的差额，通常设为P表示年利润 问题1： 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降。假设某市场分析专家提供了下列数据： 销售单价x/元 50 100 150 300 年销售量t/件 5000 4000 3000 0 设生产t件该产品的成本为。 （1）在下图中，描出上述表格中各组数据对应的点。 （2）描出的这些点在一条直线吗？求t和x之间的函数关系式 （3）销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？ 问题2： 设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似的表示为： 制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据 年销售量t/件 750 3000 5096 8500 9417 销售单价x/元 3850 3400 3000 2300 2100 （1） 在下图中，描出上述表格中各组数据对应的点。 （2） 假如该企业高薪聘你，请你分析，当年销售量t和销售单价分别是多少时，年利润P最大？并说说你有几种求解方法？与同学进行交流. 例：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为元/件，每月的总利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当时， 当时，。 答：此时每月的总利润最多是1200元. （2） 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当时，设与函数关系式为, 线段过(50，60)和(70，20).解得 ，图像开口向下。 当时， 售价是55元时，获利最大，最大利润是1250元. （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 解：∵当时，。 当时， 售价应在元之间. 当时， 当时， ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品 售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. 变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润与售价的函数关系式；并说明，当该商品售价是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：与的函数关系式： 由例3可知： 若，则当时， 若，则当时， 售价是55元时，获利最大，最大利润是1250元. （2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价的取值范围； 解：①当时， 此情况不存在。 ②当时， 令，得 由的 图象和性质可知: 当时， ∴若该商品所获利润不低于1218元， 则售价的取值范围为. （3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？ 解：由题意得： 解得： 的顶点 不在范围内， 又 当时， 随的增大而增大 ∴当时， ∴此时售价应定为53元， 利润最大，最大利润是1242元. 3、 课堂小结 四、课后练习 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下： （元） 15 20 30 …… （件） 25 20 10 …… 若日销售量是销售价的一次函数. （1）求出日销售量（件）与销售价（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$