第十章《二元一次方程组》综合练习 2024—2025学年人教版数学七年级下册

人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第十章《二元一次方程组》 综合练习 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．如果方程x﹣y＝1与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C．x＝2y+1 D． 【解答】解：A．把x＝3，y＝2代入y＝2x﹣1，左边＝2，右边＝2×3﹣1＝5，左边≠右边，故选项A不符合题意； B．把x＝3，y＝2代入，左边，右边＝4，左边＝右边，故选项B符合题意； C．把x＝3，y＝2代入x＝2y+1，左边＝3，右边＝2×2+1＝5，左边≠右边，故选项C不符合题意； D．把x＝3，y＝2代入，左边，右边＝4，左边≠右边，故选项D不符合题意． 故选：B． 2．已知二元一次方程3x﹣y＝0，下列选项中是此方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当时，3×2+6＝12≠0，则A不符合题意， 当时，3×1﹣3＝0，则B符合题意， 当时，3×0﹣2＝﹣2≠0，则C不符合题意， 当时，3×（﹣1）﹣3＝﹣6≠0，则D不符合题意， 故选：B． 3．下列方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．把x＝2，y＝﹣3代入方程x+y＝﹣1，左边＝2﹣3＝﹣1，右边＝﹣1，左边＝右边；把x＝2，y＝﹣3代入方程x﹣y＝1，左边＝2+3＝5，左边≠右边，故选项A不符合题意； B．把x＝2，y＝﹣3代入方程x+y＝﹣1，左边＝2﹣3＝﹣1，右边＝﹣1，左边＝右边；把x＝2，y＝﹣3代入方程2x﹣y＝7，左边＝2×2+3＝7，右边＝7，左边＝右边，故选项B符合题意； C．把x＝2，y＝﹣3代入方程x+y＝1，左边＝2﹣3＝﹣1，右边＝1，左边≠右边；把x＝2，y＝﹣3代入方程y﹣x＝﹣5，左边＝﹣3﹣2＝﹣5，右边＝﹣5，左边＝右边，故选项C不符合题意； D．把x＝2，y＝﹣3代入方程2x+y＝﹣1，左边＝2×2﹣3＝1，右边＝﹣1，左边≠右边；把x＝2，y＝﹣3代入方程x﹣y＝﹣5，左边＝2+3＝5，右边＝﹣5，左边≠右边，故选项D不符合题意． 故选：B． 4．如果是方程2x+y＝1的一个解（m≠0），那么（　　） A．n可能为0 B．m，n异号 C．m，n同号 D．m，n可能同号，也可能异号 【解答】解：∵是方程2x+y＝1的一个解（m≠0）， ∴将代入方程2x+y＝1， 得2（m+1）+（n﹣1）＝1， 2m+2+n﹣1＝1， ∴2m+n＝0， ∴n＝﹣2m， ∵m≠0， ∴当m＞0时，n＝﹣2m＜0； 当m＜0时，n＝﹣2m＞0； ∴m和n的符号始终相反，即m和n异号． 故选：B． 5．如果是关于x，y的二元一次方程x+my＝2025的解，那么m的值是（　　） A．2022 B．﹣2022 C．﹣2023 D．2023 【解答】解：∵方程x+my＝2025的解是， 将代入二元一次方程x+my＝2025中，得3+m＝2025， 解得m＝2022， 故选：A． 6．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：若…，若…，问每头牛，每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列出符合题意的二元一次方程组为，根据已有信息，题中用“若…，若…”表示的缺失的条件应为（　　） A．5头牛2只羊值10两；10头牛4只羊值16两 B．5头牛2只羊值10两；4头牛10只羊值16两 C．2头牛5只羊值10两；10头牛4只羊值16两 D．2头牛5只羊值10两；4头牛10只羊值16两 【解答】解：由题意可得，设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列出符合题意的二元一次方程组为，根据已有信息，题中用“若…，若…”表示的缺失的条件应为：5头牛2只羊值10两；4头牛10只羊值16两． 故选：B． 7．三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ①+②+③得：2x+2y+2z＝10，即x+y+z＝5④， ④﹣①得：z＝3， ④﹣②得：x＝0， ④﹣③得；y＝2． 则原方程组的解为：． 故选：C． 8．如图，一面长方形墙壁ABCD因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中AB＝13，AD＝9，则图中每块长方形瓷砖的面积为（　　） A．14 B．15 C．20 D．22 【解答】解：设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ∴xy＝7×2＝14， ∴每块长方形瓷砖的面积为14． 故选：A． 9．用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（　　） A．y＝2x+4 B．y＝2x﹣4 C．y＝﹣2x+4 D．y＝﹣2x﹣4 【解答】解：由①变形可得到y＝2x﹣4， 故选：B． 10．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】将方程组整理得， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 11．已知（a+2）x|a|﹣1+y＝5是二元一次方程，则a的值为　2　 ． 【解答】解：∵（a+2）x|a|﹣1+y＝5是一个二元一次方程， ∴， 解得：a＝2， 故答案为：2． 12．若是关于x、y的二元一次方程ax﹣y＝1的解，则a的值为　3　 ． 【解答】解：把代入关于x、y的二元一次方程ax﹣y＝1中，得a﹣2＝1， 解得a＝3， 故答案为：3． 13．已知x＝2，y＝﹣1是方程3mx﹣2y＝﹣4的解，则m的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：已知x＝2，y＝﹣1是方程3mx﹣2y＝﹣4的解， 则6m+2＝﹣4， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 14．已知方程组的解是，则方程组的解为　　 ． 【解答】解：∵方程组的解为， ∴x﹣1＝2，y﹣1＝3， 解得：x＝3，y＝4， ∴方程组的解为． 故答案为：． 15．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是类似地，如图2所示的算筹图，可以表述为 　　 ． 【解答】解：依题意得：． 故答案为：． 16．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量/升 2 3 4 盒子单价/元 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为 　64　 元； （2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 　4，4，2　 .（写出一种即可） 【解答】解：（1）购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4， 则购买费用为：2×5+3×6+4×9＝64（元）， 故答案为：64； （2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个， 根据题意得：2x+3y+4z＝28， ①当0≤x＜3时，5x+6y+9z≤58， ∵x，y，z都为正整数， ∴x＝2时，y＝8，z＝0（不符合题意舍去）， ②当3≤x时，5x+6y+9z﹣4≤58， ∵x，y，z都为正整数， ∴x＝4时，y＝4，z＝2， 综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为4，4，2． 故答案为：4，4，2． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解方程组： 【解答】解：①+②×2得：7x＝﹣14， 解得：x＝﹣2， 把x＝﹣2代入①得：y＝3， 则方程组的解为． 18．解下列方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①×2，得6x+2y＝22③， ②+③，得9x＝27， 解得x＝3， 吧x＝3代入①，得y＝2， 所以方程组的解是； （2）， 整理得， ③×2，得10x﹣14y＝12⑤， ④﹣⑤，得3y＝﹣3， 解得y＝﹣1， 把y＝﹣1代入③，得x， 所以方程组的解是． 19．已知关于x，y的方程组的解是，求的值． 【解答】解：把x＝2，y＝﹣3代入方程组，得， 即， ②×2，得﹣2m+6n＝﹣16③， ③+①，得5n＝﹣10， ∴n＝﹣2， 把n＝﹣2代入①，得2m+2＝6， 解得：m＝2， ∴． 20．先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得x﹣y＝1③，然后再将③代入②，得4×1﹣y＝5， 解得y＝﹣1，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 【解答】解：， 由①得：﹣2x+3y＝2③， 将③代入②得：2y＝9， 解得：y＝4， 将y＝4代入①得：2x﹣3×4+2＝0， 解得：x＝5， 故原方程组的解为． 21．某校开展校园艺术节系列活动，派王老师到超市购买若干个文具袋作为奖品．已知文具袋的单价是10元，请认真阅读结账时收银员与王老师的对话： （1）结合两人的对话内容，求王老师原计划购买文具袋多少个？ （2）学校决定，再购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔单价为8元，签字笔单价为6元．经过沟通，这次超市给予八折优惠，共花了272元．则购买的钢笔和签字笔各是多少支？ 【解答】解：（1）设王老师原计划购买文具袋x个， 根据题意得：10x﹣10×0.85（x+1）＝17， 解得：x＝17． 答：王老师原计划购买文具袋17个； （2）设购买m支钢笔，n支签字笔， 根据题意得：， 解得：． 答：购买20支钢笔，30支签字笔． 22．对于有理数x，y定义一种新的运算“☆”：x☆y＝ax+by+5，其中a，b为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知2☆5＝22，4☆7＝33，求2☆8的值． 【解答】解：由新定义得方程组：，即， ①×2，得4a+10b＝34③， ③﹣②，得3b＝6， 解得：b＝2， 把b＝2代入①，得2a+5×2＝17， 解得：， ∴2☆8＝2a+8b+5 8×2+5 ＝7+16+5 ＝23+5 ＝28． 23．已知关于x，y的二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+a﹣1＝0． （1）当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解． （2）试说明：无论a取何值，该公共解都是原二元一次方程的解． 【解答】解：（1）（a﹣3）x+（2a﹣5）y+a﹣1＝0． 整理得：（x+2y+1）a﹣3x﹣5y﹣1＝0， 由条件可得， 解得． ∴这个公共解为； （2）把（a﹣3）x+（2a﹣5）y+a﹣1＝0化为下面的形式；（x+2y+1）a＝3x+5y+1， ， 解得 ∴无论a取何值，这个公共解都是原二元一次方程的解． 24．定义：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的一个解为，当m﹣n＝k时，则称，为二元一次方程ax+by＝c的“k系相关解”．例如：是二元一次方程x+y＝4的“2系相关解”． （1）二元一次方程x+y＝3的“1系相关解”为　　 ； （2）下列二元一次方程存在“2系相关解”的是　①③　 （填序号）； ①2x+y＝1； ②x﹣y＝1； ③x+y＝3． （3）为二元一次方程2x﹣y＝﹣1的“k系相关解”，且m+n≤3，求k的取值范围． 【解答】解：（1）设是二元一次方程x+y＝3的“1系相关解”， 则得，解得：， 故； 故答案为：； （2）设是二元一次方程的“2系相关解”，即m﹣n＝2； 当2m+n＝1时，，解得， 当m﹣n＝1时，方程组无解； 当m+n＝3时，，解得， 综上，二元一次方程存在“2系相关解”的是①，③； 故答案为：①③； （3）由题意得2m﹣n＝﹣1，则n＝2m+1． ∵m+n≤3， ∴m+2m+1≤3．解得， ∴k＝m﹣n＝m﹣（2m+1）＝﹣m﹣1． ∴，即． 25．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．例如，3*2＝3a+2b，2⊗1＝2a﹣b．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4，则根据定义可以得到：． （1）a＝　1　 ，b＝　﹣2　 ； （2）若x*y+x⊗2y＝6，求x+y的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝4，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　 ． 【解答】解：（1）， ①+②×2得7a＝7， ∴a＝1，把a＝1代入②，得2﹣b＝4， ∴b＝﹣2，解得：， 故答案为：1，﹣2； （2）∵， ∴x*y＝x﹣2y，x⊗y＝x+2y， ∴x*y＝x﹣2y，x⊗2y＝x+4y， ∵x*y+x⊗2y＝6， ∴x﹣2y+x+4y＝6， 解得x+y＝3； （3）， ∴，解得：， ∵x﹣y＝4， ∴， 解得：m＝2； （4）解：由方程组， 得：， ∵的解为， ∴，解得：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第十章《二元一次方程组》 综合练习 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．如果方程x﹣y＝1与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C．x＝2y+1 D． 2．已知二元一次方程3x﹣y＝0，下列选项中是此方程的解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 4．如果是方程2x+y＝1的一个解（m≠0），那么（　　） A．n可能为0 B．m，n异号 C．m，n同号 D．m，n可能同号，也可能异号 5．如果是关于x，y的二元一次方程x+my＝2025的解，那么m的值是（　　） A．2022 B．﹣2022 C．﹣2023 D．2023 6．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：若…，若…，问每头牛，每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列出符合题意的二元一次方程组为，根据已有信息，题中用“若…，若…”表示的缺失的条件应为（　　） A．5头牛2只羊值10两；10头牛4只羊值16两 B．5头牛2只羊值10两；4头牛10只羊值16两 C．2头牛5只羊值10两；10头牛4只羊值16两 D．2头牛5只羊值10两；4头牛10只羊值16两 7．三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 8．如图，一面长方形墙壁ABCD因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中AB＝13，AD＝9，则图中每块长方形瓷砖的面积为（　　） A．14 B．15 C．20 D．22 9．用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（　　） A．y＝2x+4 B．y＝2x﹣4 C．y＝﹣2x+4 D．y＝﹣2x﹣4 10．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．已知（a+2）x|a|﹣1+y＝5是二元一次方程，则a的值为　 　 ． 12．若是关于x、y的二元一次方程ax﹣y＝1的解，则a的值为　 　 ． 13．已知x＝2，y＝﹣1是方程3mx﹣2y＝﹣4的解，则m的值为 　 　 ． 14．已知方程组的解是，则方程组的解为　 　 ． 15．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是类似地，如图2所示的算筹图，可以表述为 　 　 ． 16．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量/升 2 3 4 盒子单价/元 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为 　 　 元； （2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 　 　 .（写出一种即可） 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解方程组： 18．解下列方程组： （1）； （2）． 19．已知关于x，y的方程组的解是，求的值． 20．先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得x﹣y＝1③，然后再将③代入②，得4×1﹣y＝5， 解得y＝﹣1，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 21．某校开展校园艺术节系列活动，派王老师到超市购买若干个文具袋作为奖品．已知文具袋的单价是10元，请认真阅读结账时收银员与王老师的对话： （1）结合两人的对话内容，求王老师原计划购买文具袋多少个？ （2）学校决定，再购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔单价为8元，签字笔单价为6元．经过沟通，这次超市给予八折优惠，共花了272元．则购买的钢笔和签字笔各是多少支？ 22．对于有理数x，y定义一种新的运算“☆”：x☆y＝ax+by+5，其中a，b为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知2☆5＝22，4☆7＝33，求2☆8的值． 23．已知关于x，y的二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+a﹣1＝0． （1）当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解． （2）试说明：无论a取何值，该公共解都是原二元一次方程的解． 24．定义：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的一个解为，当m﹣n＝k时，则称，为二元一次方程ax+by＝c的“k系相关解”．例如：是二元一次方程x+y＝4的“2系相关解”． （1）二元一次方程x+y＝3的“1系相关解”为　 　 ； （2）下列二元一次方程存在“2系相关解”的是　 　 （填序号）； ①2x+y＝1； ②x﹣y＝1； ③x+y＝3． （3）为二元一次方程2x﹣y＝﹣1的“k系相关解”，且m+n≤3，求k的取值范围． 25．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．例如，3*2＝3a+2b，2⊗1＝2a﹣b．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4，则根据定义可以得到：． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若x*y+x⊗2y＝6，求x+y的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝4，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　 　 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$