(四)平均变化率与瞬时变化率、导数的概念及几何意义、导数的运算-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考北师大版）

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (四)平均变化率与瞬时变化率、导数的概念及几何意义、导数的运算 (考试时到40分钟，擒分100分》 一，选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题始出的四个达项中，只有一 明是符合题目要求的) L某物体运动1s后，其位移（单位：m)为y一三十2，划在2≤场4这段时间里，该物 体的平均速度为 A.5 m/s B,6m/ C.8 m/s D.10 m/s 么，已知直线（与面找y=x一x在原点处相切，则直找的领斜角为 A吾 以牙 c D 3,已知函数(x)=产在区间[0,2]上的平均变化岸等于x=m时的瞬时变化《，期 w闭 A B 1 c D.2 4.已知函数fx的导数为f(x,且r)=+2rf广(2)一nz,期F(2)的值为 A-号 收号 C.- “ 5.我国自主研爱的世界首套设计时建达网公里的高建鹭交通系统，标表君我国拿 握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此 高速磁浮电被形象地称为"贴地飞行”，已知某高速磁浮列车初始加速至时速600公 里阶段为匀加速状态，在此过程中，位移（单位：公甲》与时可《单位：）的关系满星 函数上)一n‘十(4为初速度，止为加速度且0)，位移的导所数是速皮与时 阿的关系一广)一4十红.若从静止软态匀加速至位移号公里需60，题时速从零 加速到时速500公里需 A.120￥ 13,180s C.2108 D.240s 做学（土所大级}选择性必修第二母第1面〔共西 衡水金参·先摩烟” 6.已知函数fx)一2十m2在区阔1,2的图象上存在鸭条相互衡直的切线，则实 数：的取值范国为 4.-2,10 B.(-2,-17 C.(-2,0) D.(-3.-2) 二，法择题（本题共2小题，每小题5分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 想目要求。全器选对的得6分，器分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知函数fx)在x=工处可导，则下列式子中与了(x,)相等的是 A.lim I)-l(-2Ar) 24r B.limr) △r C.limK(n+2ar)-fatar △r D.limf(rtAr)-fr-2Ar) 8.英阿著名物理学家牛幅用“作切线”的方法求函数零点，知丽.在情坐标为的点处 作x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为：用x代替重复上面的过程得到 力一直继统下去，得到的数列工，叫徽牛顿数列.若函数f()=x一一分，，= 血号且一1>3，数列，的前：项和为5，则下列说法正确的超 A-北品 f(x.】 B.数列{a.)是等差数列 C,数列u,1是等比数列 D品a=2m-1 班酸 性名 分数 题号 1 4 三，填空题（本题共”小周，每小圈5分，共10分） :.写出同时满足下列条件①②的烟数()的一个解析式 ①f,+)-f+fx)+1:②f(x<-L 10,记函数y-的图象为C,作曲线C关于直线y=r对称的曲线C,划曲线C 上任意一点与曲线C上任意一点之问距离的最小值为 高二网步周制鞋回 数学（其师大版》选择性必修第二函第：页〔售4面 四，解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明正明过程或演算步露） 13,(本小题演分20分) 11.(本小图阑分13分) 已知直线l:ar一4y十3=0是曲线Cy=3vF和C:y=r的一条公切钱. 求下列函数的导数 (1求实数a,业的值： (1y=3x2+c0w (2y=xn(2x十5n (2)过点(0，m)可作曲线/()=1一m+号的三条不同的切线，求实数m的数值 (3)y-t,x≠十受k∈Z: 范围. (4y=os2r+1+2025. 12.(本小题满分15分) 已知函数f八r)一4nx在点(1.0)处的切线方程为t一y一1一4 (1)求实数从的值： (2)若过点A(0,一e)的直线！与曲线y一(x)相切，求直线1的方程 章学（士师大酸}这择性必修氟二母第3西（共4页引 衡水金参·先摩·商二网步周测卷四 数学（土师大版》选择性必锋第二函第1页（典4页！高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（四） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 (主题内容) W ② ③④ 档次系数 1 选择题 5 平均变化率的物理 意义 0.80 2 选择题 利用导数求切线的倾 易 0.72 斜角 3 选择题 利用平均变化率与瞬 5 时变化率的关系求参 易 0.70 4 选择题 利用导数确定函数的 各 0.55 系数 5 选择题 5 导函数的意义 3 中 0.45 6 选择题 5 利用导数研究两切线 0.30 垂直问题 务 7 选择题 6 导数的定义 易 0.75 选择题 6 导数与数列的综合 各 0.40 填空题 5 与导数有关的开放题 易 0.72 利用导数解决两曲线 10 填空题 5 上点的距离的最值 √ % 0.35 问题 11 解答题 13 导数的计算 % 0.60 由切线方程求参，求切 12 解答题 15 线方程 中 0.35 公切线问题，由切线的 13 解答题 20 0.28 条数求参 ·79· ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 A满足题意：对于B,im(十△)-f(西一△ 1.A【解析】当=2时，位移为号×2+2×2=6：当 △z 2 lim (x。-4+2△x)-f(x-△x2=2f(x). =4时，位移为号×4华+2×4=16，所以在2<1<4 2△x B不满足题意：对于C,im f(x+2△r)-f(x+△x) 这段时间里，该物体的平均速度为6=5m/s.故 + △r 4一2 =f(x),C满足题意：对于D, 选A, 2.C【解析】因为y=3.x2-1,所以y==-1,即直 imf+△x)-f(x-2Ax2 △r 线l的斜率为一1，设直线l的倾斜角为a,则ana= 一1,0≤a<,所以直线1的倾斜角为红故选C 3-/-2+32--22=3fa.D 3△x 不满足题意.故选AC, 3.B【解析】函数f(x)=x在区间[0,2]上的平均 8.ACD【解析】由题可得(x)=2x一1，所以 变化率为2)二02==2，由f(x)=,得 2-0 2 f(x)在点(x.,f(x.))处的切线方程为y- 子(x)=2x,所以f(m)=2m,因为函数f(x)=x2 f(xn)=(x)(x-xm),令y=0,得x=xa+1= 在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时 变化率，所以2=2m,解得m=1.故选B. 玉品-会放A正确： 2xw-1 4.A【解析】由(x)=x十2x了(2)-lnx,得f(x) x+6 ，当x=2时，可得了(2)=4+ +1十2_ /x.十2 =2x+2f/(2)-1 了+2 x.41-3 x.-3 ,放n十2 x.+1-3 2f(2)-号，解得了(2)=-子，故选A 号，即a1=2a…所以数列(a.是以1为首 2ln+2 5,C【解析】由题意得匀加速过程中，位移x与时间t 项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确：所以 的关系满足函数x()=叶宁如，则由从静止状 S=1X目？m)=2公-1，故D正确.故 1-2 态匀加速至位移号公里需60，可得9=之kX60, 2 选ACD. 解得=7我及0，则由=（)=十红可得写8品 20 600 三、填空题 9.f(x)=一2x-1(答案不唯一，形如(x)=ax一1， 7X60×1,解得1=210(8).故选C 20 a<一1即可)【解析】设f(x)=ar十b,a≠0，由① 得f(x1十x)=a(x十n)十b,f(x)+f(x)十1 6.D【解析】由题意得∫(x)=r+兰(x>0),不妨设 a(x十x4)+2b十1，因为f(x1十x2)=f(x1)十f(x) +1,所以b=2h+1,解得=-1，故f(x)=ax-1,所 这两条相互垂直的切线的切点分别为(，f())· 以f(x)=a,由②得a<-1,取a=一2，则f(x)= (x,f(x)),则f()·f(n)=一1，若a≥0，则 -2x-1. 了(x)>0恒成立，不符合题意，可排除A项：若a<0,此 时f(x)=x+二在(0，十∞)上单调递增，要满足题 10.2Bn2c 5 【解析】由题意可知y=c,设 1f(1)=1+a<0 A(a,c)为曲线C上的一点，令曲线C在点A处 意，则需 f(2)=2+号>0 ,解得 的切线斜率：=心=子，解得a=一h2,所以 f(1)f(2)=(1+a)(2+号）<-1 A(-n2,2),所以点A(-n2,2)到直线y a∈(-3，一2).故选D 二、选择题 之x的距离为d ×(-n2)- 7.AC【解析】对于A,limC）-x。-2△r2 2△x V1+(】 im-2A+242）=-2A2=(x) 2△x ⑤1n2c,所以曲线C,上任意一点与曲线C上任意 ·80· 一点之间距离的最小值为2d=2⑤1n2s 13.解：(1)设直线（与曲线C的切点坐标为 5 M(xy%)· 四、解答题 “y=3丘，y=,3 (2分) 11.解：(1)y=(3x+cosx)'=6x-sinx (3分) (2)y=[xln(2x+5)]'=x'ln(2x+5)+ x[ln(2x+5)]1 “直线1的斜率为号 1 =ln(2x+5)+x·2x+·(2+5)y 号0 =ln(2x+5)+2+5 (6分) 又点M(xo,y)同时在直线1和曲线C上 8Y=(amr)'=(} a-4纵+3=01 ②， y=3√x -(xsin x)'cos z-rsin r (cos r)' 联立①②可得a=12, (5分) 故直线1的方程为12x一4y十3=0， (6分) cos =(sinx十reos r)cosx十xsin'x=sin reos十x 联立/12x-4y+3=0 =0 cos'r cos'r y=kr 可得x-3x- 4 {xx≠m+受k∈Z小 (8分) (9分) 又，直线1与曲线C,相切， (4)y= [c0s(2x+1D+2025 ∴.△=9十3k=0,解得k=-3, (10分) (2)由(1)得f(x)=x-mx十2， =[cos(2.x+1)Y·x-cos(2x+1)·x 则了(x）=3x2-2m.x. (11分) 设切点为P(y)· =(2x+1)'·[-sim(2x+1)]·x-cos(2x+1) 则曲线∫(x)在点P处的切线方程为y一 =-2xsin(2x+1)+cos(2x+1) (x-mx十2)=(3x-2nx)(x-x),(12分) x (13分) 又：切线过点(0，m), 12.解：(1)由题可得了(x)=anx十a, (2分) .(x1-1)[2.x+(2-m)x1十(2-m)]=0, 由y=x一1的斜率为1，得f(1)=1,即a=1. (15分) (5分) 即方程2x2+(2一m)x十2-m=0有两个不相等的 (2)由(1)知，f(x)=xnx,f(x)=lnx+1, 实数根，且x≠1， 设切点为(x,y), .a=2-m)-4×2×(2-m)>0, (17分) 则f(x)=n十1，=xlnx, (7分) 又直线（过点A(0,一e), 解得m<一6或2<m<3或m>3, lnxw十1=olh十e .实数m的取值范围为（一∞，-6）U(2,3)U (10分) (3,+∞). (20分) 整理得xa=c,f(e)=2, (13分) .直线1的方程为y十e=2(x-0),即2x-y-e= 0. (15分)