(三)数列求和、数列在日常经济生活中的应用、数学归纳法-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考北师大版）

高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（三） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① ②③④⑤ 档次系数 1 选择题 5 分组求和法求和 易 0.72 2 选择题 5 数学归纳法的原理 易 0.70 3 选择题 5 倒序相加法求和 中 0.65 4 选择题 数列的前n项和 中 0.55 数列的通项及前n 5 选择题 项和 % 0.45 6 选择题 5 等比数列的应用 中 0.30 7 选择题 6 数列的前n项和 分 0.68 8 选择题 6 分组求和法 难 0.28 9 填空题 5 并项求和法 中 0.55 10 填空题 数列的实际应用 中0.35 11 解答题 13 数学归纳法的应用 中 0.60 12 等差数列的证明，错位 解答题 15 相减法求和 竹 0.35 等比数列的实际应 13 解答题 20 0.28 用—分期付款 香考管案及解析 一、选择题 2,D【解桥】根据数学归纳法可知：当n=k时·十十 1.A【解析】数列1之3十5日，7…的通项公 中2+…+中>品当=k+1时 式为a.=2m-1+(分)，所以5.=(1+号)+ (3+安)+(6+是)+(+安)+…+(2m-1+会》 中1干十…叶中十A中行>提相比从=大到n 1 十1，可知多增加的项为欢中十欢中一市 =m+1-.故选A ·75· ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 2k+2(k+1)故选D ×1-1)+×20+号×(3-1)++ 3.C【解析】根据等比数列的性质及aa:gs=1,可得 合[m-10-1门+是0=号×1+2+…+n) ,a4=1,即a,=1,f(x)=主 n=n(n十1)(2n十1)-卫=n(n十2)(2n-12 )+()=+ =4十4.x2 12 12 =4,令 所以S 38×(38+2)×(2×38-1D=9500,故D 12 T=f(a1)+f(a4)十…+∫(atw),则T= 正确：当n为奇数时，S,=S+1一a+1= f(a:2s)十f(a:2a)十…十f(a1),∴.2T=f(a)十 (n+1)(十3)(2n十1)1 f(ats)+f(a1)十f(agt)+…十f(at)十 12 z(n+1)' f(a1)=4×2025,.T=4050.故选C. (n-1)(n十1)(2n+32,所以S= 4.D【解析】因为c,c,…,c+1是公差为一2的等差 12 数列，所以91，c,…,c+1单调递减，所以4+1=一10， 19-1)×19+1)×(2X19+3)=1230,故C错 12 故G-2k=-10,则G=-10+2k,c=4+1十2= 误，故选ABD -8,又S+1=一50，所以2(c1十c2十…+c)++1 三、填空题 =一50，所以c1十G十…十c=一20，即 k(-10十2k-82=一20，化简得k一9k+20=0,解得 9.一2【解析】因为am=(-1)"(3n-1),所以Sm= (-2)+5+(-8)+11+…+(-56)+59= k=4或k=5.故选D. (-2+5)十(-8+11)十…+(-56+59)=3×10 5.A【解析】因为S,十am=1024,所以当n=1时， =30,则S1=S6十a1=30一62=一32，故S6十 a1=512:当n≥2时，S,-1十a.-1=1024,则S.十am S1=一2. （S.-1十a-1)=2a,-a-1=0,即a.=号 10.10【解析】由题意设每个月的收人为数列{a,〉，其 a-1,所以 前n项和记作S。,前6个月的收入成等比数列，且公 数列{a,}是以512为首项，号为公比的等比数列，所 比为号，第7个月开始收入成等差数列，公差为2 以a.=512×(2)川 =21e“,数列{a)单调递减， 20×1-()门 则S 100×() -100≈ 当n≤10时，a≥1，当n≥11时，a.<1,所以当n=9 1-9 或n=10时，数列{a.)前n项的积最大，最大值为 2"×2×2×…×2×2×2°=25，枚选A. 198.6,又a=a:+2=20×(号）广+2≈51.76，则 6.B【解析】设每年应该存入x万元，则2024年年初 a=53.76,a,=55.76,a。=57.76,所以S≈ 存入的钱到2031年年初本利和为x(1+2%),2025 198.6+51.76+53.76+55.76=359.88,S。=S+ 年年初存入的钱到2031年年初本利和为 ae=417.64>400,所以该企业用所得收入偿还400 x(1十2%)‘，·，2030年年初存入的钱到2031年年 万元的无息贷款只需10个月， 初本利和为x(1十2%)，则x(1十2%)+x(1十2%) 四、解答题 +…+x(1+2%y=40,即1.02x1-L022=40, 11.解：(1)因为a+1=na.-2m2+3n+1(n∈N), 1-1.02 解得x≈5.3.故选B. 所以当n=1时，a2=a1-2×1*十3×1十1=3： (2分) 二、选择题 7.ACD【解析】对于am+w=anaw,令m=n=l,得ai= 当n=2时，a=2a:-2×2+3×2+1=5:(4分) a2=1,则a1=士1，令m=2,则a2+.=a2au=ae,所以 当n=3时，a=3a1-2×32+3×3+1=7.(6分) a:=a=1ag:=a1=士1，故A正确，B错误：易 (2)猜想am=2n-1(n∈N),证明如下： 得a=1,a-1=a1,则Sat=1012a1十1012a:= 当n=1时，由题知a1=1,猜想成立： 1012a1+1012=2024,解得a1=1,故C正确： 假设当n=k(k∈N”,k≥1)时，猜想成立，即a4= Ss=1013a1十1012a:=1013a十1012=-1，解 2k-1, (8分) 得a1=一1，故D正确.故选ACD. 则当n=k+1时，a+1=ka4一2k2十3k十1=k(2k- 8.ABD【解析】由题意可知当n为奇数时，a。= 1)-2k+3k+1=2k+1=2(k+1)-1, 号(r-1):当n为偶数时，a=子，当n=20时， 所以当n=k十1时，a.=2-1(n∈N)成立. (12分) am=号×202=20，故A正确：当n=39时a 综上所述，任意n∈N,有a=2n一1. (13分) 12.解：(1)因为数列(a.}的前n项积为b, 之×(39：-1)=760，故B正确：当n为偶数时，S. 顶议a,-产(22 ·76· 所以2+士=忌+会=1 所以到第1个月底，第一次还款前，小李欠商店 b。 4000×(1+0.5%)=4020元. (5分) 化简可得b.一h.-1=2(n≥2)， (3分) (2)设第i(i=1,2,…,24)个月底还款后的欠款数 因为b=a1+ 为y 故当=1时层+公=1，解得么=3 (5分) 则y=4000×(1+0.5%)-a, y2=y(1十0.5%)-a=4000×(1+0.5%) 所以(6.}是首项为3，公差为2的等差数列.(7分) a(1十0.5%)-a, (2)由(1)可得b.=3+2(n-1)=2n+1, (8分) y=y(1+0.5%)-a=4000×(1+0.5%)1 所以c.=b:-1=2·21十1=2十1， a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a, 故n(c.-1)=n·2, (10分) 令数列{n(c一1)}的前n项和为T。, y,=y-1(1+0.5%)-a=4000×(1十0.5%) 则T.=1×2+2×2+3×2十…十n·2”①， a(1十0.5%)-1-…-a(1十0.5%)-a, 2T.=1×2+2×23+3×2+…+(n-1)·2"+n ·2+1②， 整理得y=4000X1.005-1.005a(i=1,2. 0.005 由①-②得一T.=2十2+23+…+2"-n·2+1 …,24) (15分) =(1-n)·2+1-2, (14分) (3)由题意可得”=0， 所以T.=2+(n-1)·2+ (15分) 13.解：)购买手机时，小李欠商店手机费用的号，即 所以4000×1.0054-上0054-1 =0. 0.005 所以a=1000X1.05X0.05≈177.28元， 60×号=4000元， 1.005-1 即每月的还款额为177,28元， (20分) 又月利率为0.5%，高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (三)数列求和、数列在日常经济生活中的应用、数学归纳法 (考试时叫40分钟，满分100分》 一，菇择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小随给出的四个选项中.只有一 项是符合题目要求的) 1数列1宁5日7品…的能n项和8.为 A+1 km+1-公 1 c㎡+2-是 D.n+2-2 1 1+1 么用数学白纳法证明不等式：2十十，十，>品，从州=到用三十时，不 等式左边雷愿增知的项为 N.2+1可 队2欢++2+币C2+Dk市D2k+12+五 a,膏斯(G)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有~数学王子”之称，小学进行 1十2十3+十100的求和运算时，也这样计算的：1十100=101,2十99一101，…， 50十51=101，共有0组，所以0×1015050，这就是若名的高所算法，课本上推导 等差数列前m项和的方法正是借助了高新算法.已知正项数列a,是公比不等干1 的等比数列，且出1，试根霜以上提示探求：若f》一中于：期4)中 fw,1+40m)= A.2025 且2026 C.4050 D.4052 4.若项数为的数列4，}满是4一.+，i=1,2,3,",程)，期称其为程项的“对称数 列”.倒如：数列1,2,2,1为4项的"对称数列”，数列1,2,3,2.1为5项的”对称数 列”，已知数列{，1为2k+1项的“对称数列”，其中12，+1是公第为一2的等着 数列，数列(G.的最小项为一10，记数列.1的简2贴+1项的和为S1.若S,+4 一0，则专的值为 A.3 Bi C.5 [.4或5 5,已知数列{4.1的前#项和为S.,且S,十a.一1024，则数列(，1前m项积的最大值为 A.2 (20 C.2 D.2 瓜，某家庭打算为子女储备“数育基金”，计划从2024年开始，每年年初存人一笔专用存 款，使这笔存款到2031年年初连本带息共有4得万元收益(2031年年柳不存款.如 果每年的存教数解相同.依年利息2%并按复利计算〔复利是一种什算利息的方法， 即把前一期的利息和本金加在起草作本金，再计算下一期的利息)，则每年应该存人约 4参考数据：102s1,149,1,021,172) A.4.1万元 且5.3万元 C,6万元 D.7,8万元 鞋学（土码大版}这提性必修氧二母第1面〔共西引 衡水金参·先摩烟 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 圈目要求。全器选对的得G分，部分选砖的得部分分，有选错的得0分) 7.已知数列a的前知项和为5.=10。，=4a,期下列结论正确的是 A,414-1 B4:=1 C.若51a:=2024,斯西=1 D.若5m-一1，期41-一1 8大衙数列米源于《乾坤谱中对易传)“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传 统文化中的太极你生原理.如所示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经 经历过的两仅数量总相，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,0,50，此数列记 为{，，其前a项的和记为S.,则下列结论正确的是（参考公式：十2时+…十知 (十1)(2m十1) 6 一法左九清 DDDD A,d知=200 且an=70a C,S1,=1200 DS。=9500 性名 分首 赠号 6 8 容多 三，填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） .已知数列{a的前n项和为S,-(一1)(3m一1)，则5，十S1 10,在国家西部开发的政策支持下，某西溶全业得到了一笔400万元的无息货款用做设 备更新，据预测.该全业设备更断后，第1个月收人为20万元，在接下来的3个月 中，每月收入都比上个月培长0⅓，从第7个月开始，每个月的收人都比前一个月 增加2万元，划从新议备使用开始计算，该全业用所得收人金还400万元的无息货 款只雷 个月.（参考数据：1.22.488，l,22,986,结果取整数） 商二网步周制鞋三 数学（其师大版》选择性必修第二函第：页〔售4面} 四，解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明正明过程或演算步露） 13.(本小题演分20分) 11.(本小题满分13分) 小幸用分期付款的方式在商店购买一款单价为600元的手机，购买时先支付手机 已知数列(a.的脆程项和为S,且1=1，a,1=m,一2w十3十1(n∈N). 费用的三，剩余部分在两年内按每月底等额还数的方式支付，且结算欠款的利息已 (1}求d:4:41 (2)猜想数列，的通项公式，并用数学日纳法证明 知父款的月利率为D,5,假设小李每月还商店：元， (1)到第】个刀底，小李在第一次还款之前，他欠商店多少元： (2)写出在第行一1,2，…，24个月核还教后，小李对窗店欠款数的表达式： (3)每月的还款额4为多少元？（精确到01元） 12.(本小题满分15分) 已知数列a的前项积为h.,且是+上一1 1)证明：点1是等差数列： (2)从6，中依次取出第1项.第2项，第4项，…，第2项，能原来顺序组成一个 新数列c.},求数列《c,一1)的前n项和. 章学（士师大阪}这择性必修氟二低第8面（共4页引 衡水金参·先摩·商二网步周测卷国 数学（土师大版》选择性必锋第二函算1而（共4面