(二)等比数列-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考北师大版）

U 世学（北肠大极引选择性必修第二研第1亚（共4页！ ① 衡水会馨·先享量·离二同步因测卷已 数学（北师大密}选择性业修第二卧第？页「共页） 12.(木小题满分15分) 已知数列(a.的首项为3，且1十a。=3·2. (1)求证：数列a.一2是等比数列： (2)求数列{4.的通项公式，并判断数列4.是否为等比数列， 数学（北所大板引选择性必修第二研第多页（共4页！ 13,木小题满分20.分) 某企业2023年的纯利挥为500万元，因企业的设备老化等因素，企业的生德力将 逐年下降.若不进行技术改造，面测从2023年开始，此后每年比上一年饨利润减少 20万元：若进行技术改造，2024年初该企业需一次性投人货金600万元，在未扣除 技术改造金的情况下，预计2024年的利洞为750万元，此后每年的科润比前一年 利润的一半还多250万元.从2024年起的第m年（以02年为第-年）.记该企业 不透行技术改造的年纯科料为：。万元，进行技术改意后，在未扣除技术改迹警金情 况下的年利润为在.万元 (1)求，和6，+ 《2)设该企业不进行技术改造的累计纯利利为A万元，进行枝术改造后的累什纯利 润为B,万元，依上述衡测，从2024年起该会业至少经过多少年，进行技术改造的黑 计纯利润将超过不进行拉术改造的累计纯刊润？ 衡水会幕·究草最·高二同步两测卷日 数学（北师大密}送择性必修第二卧第4页「共4页]高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力N,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ②③④ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 等比中项 的 0.80 2 选择题 等比数列的前n项和 及性质 易 0.72 由等比数列前n项和 选择题 求参 的 0.65 4 选择题 5 等比数列的巧设 务 0.55 5 选择题 5 等比数列奇偶项的和 L 8 0.45 6 选择题 等比数列与对数运算 √ L 中 0.30 的综合 7 选择题 6 等比数列的判定 中 0.50 8 选择题 6 等比数列的应用 难 0.28 9 填空题 与等比数列有关的开 放题 么 0.68 等比数列与平面儿何 10 填空题 的综合 务 0.35 等比数列的通项及前n 11 解答题 13 中 0.60 项和 12 解答题 15 等比数列的证明 中 0.40 13 解答题 20 等比数列的实际应用 中 0.30 香考答案及解析 一、选择题 8,所以a4=ag=2g>0,且ai=a:a6=16,所以 1.C【解析】设数列{an}的公比为g,因为a4=2,a,= a,=4,故选C. ·71 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 2.A【解析】由题意得S.一S=8,所以S=S,+8= 插入的第8个数为au=a14=2i=,故A正确：插 4+8=12,因为S,,S-S,S-S成等比数列，所以 入的第1个数为a:=a1g=27,插入的第5个数为 (S-S)”=S1(S4-S。),即8=4(S,-12),解得 S=8所以受-器-子放选入 a=41g=2,则=2空=2=万，所以插人的第5 a:2 3.D【解析】因为3S=3十，所以5=3十子因 个数是插入的第1个数的2倍，故B正确：由题得 为1所以8=a=产。产：所 M=1-)=2地×1=2#)=2h-1-=1 1-g 1- 1-2n 1-2 -1-q 者M4,则-1-2苑>4，即 1-2n 2-1 ,所以子=一1，则=一3.故选D. d=h 1-q3 >5,即号>2t,即（号）”>2又(g)）”>1.4> 1.93>2,所以M>4,故C正确：由题可知N=M十3， 4.C 【解析】根据题意设这三个数分别为号 a.aq 所以N=M+3>7,故D错误.故选ABC. a·a·aq=27 三、填空题 (q≠0)，则 ,解得a=3,g2=9或 9.a=3一（答案不唯一，满足公比为3的数列均可） +a2+ag=91 【解析】设等比数列《a}的公比为g,因为数列 {3-a,}为等比数列，所以(3-a:)=(3-a1)(3 a=3,9=分，所以a=3,9=±3或4=39=±3， a),即(32一a1g)2=(3-a:)(3一ag),化简得 所以这三个数分别为1,3,9或一1,3，一9或9,3,1或 g2-6g十9=0，解得g=3,取a1=1,则a.=3-1. 10.8 一9,3，一1，所以这三个数的和为13或-7.枚选C 【解析】设第n个正方形的边长为a.,则第n十1 5,B【解析】因为等比数列{am}有2m十1项，所以奇 个正方形的边长为a1=号。所以二=号由 数项有n十1项，偶数项有n项，设数列{a,}的公比 为q,又a:=1,所以所有奇数项的和为1十g十g十… 题可知a=2,所以数列(a,)是首项为2，公比为号 十g"=1十g(g十g十g十…十g1)=85,所有偶数 项的和为9十q+g十…十g-1=42,解得q=2,所 以数列a崩2+1项的和为与2 的等比数列，所以a=2·(停)，设第n个正方 -=85+42 形的面积为S,则数列(S.}是首项为4，公比为 127,即22+1=128，解得n=3.故选B. 6.C【解析】由题意可得64个格子放满麦粒共需 的等比数列，所以S十S:十·十S。 1-之=2一1粒麦粒，因为1kg麦子大约 1一2 （号门-$1-（传）门=8-8·所以 1 20000粒，所以1t麦子大约2×10粒，则二 1一2 2×10 当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之 2 2 2X10=0,又1go=lg21-1g10=631g2-7≈ 和将无限趋近于8. 四、解答题 63X0.3一7=1山，9，所以器≈10”，所以放满棋盘的 11.解：(1)设等比数列{a。}的公比为g, 64个格子所需小麦的总重量大约为10：t.故选C 因为/a:+a=30 二、选择题 1S,=45 7.ABC 【解析】对于A,将数列{a.}中的前k项去掉， 所以/a十a,=30 剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数 a十a,=15即 a:9+ag=30 a+ag2=15 列，故A正确：对于B,取出数列{a.)的偶数项，剩余 解得/9=2 项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列，且 a1=3' (4分) 公比为，故B正确：对于C,从数列{a.}中每隔10 所以4.=3·2- (6分) 项取出一项组成的新数列仍为等比数列，且公比为 (2)因为b.= 1 ≠0. g',故C正确：对于D,数列{a.}是一个无穷等比数 aa-l 1 列，故数列品}是公比为号的等比数列，故D错误。 所b+L=aa兰=”=子-子， (8分) b 1 故选ABC. a+:q 8.ABC【解析】设该等比数列为{a),其公比为q,由 a.aa+l 题意可知a1=1,aa=2,则g=2,解得q=2方，所以 又4-1=1 aa:18' ·72· 所以数列化是以为首项，子为公比的等比数 则6.=50+250.（号）=500(1+六).(8分) 列， (10分) (2)由题意可知A.是数列{a.}的前n项和。 所以T. -(门 所以A.=nC480+500-20m2=490m-10m； (13分) 1-日 (1-) (10分) B.是数列{b}的前n项和减去600， 12.解：(1)由am+1十an=3·2",得a+1=3·2-am, 所以aw+E-2"+1=3·2"-an-2"+1=-(a-2"), 所以=00(1++1+安十…十1+)】 -600 (4分) 又-2=1， 1-2 =500 600=5001 500 -100, 所以数列{a。一2是以1为首项，一1为公比的等比 2” 数列. (7分) (2)由(1)可得a。-2=(-1)-1. (13分) 则aw=2"十(-1)-1， (10分) 则B.-A.=500m 500 2 -100-(490n-10m)= 所以a=3,a:=3,aa=9 所以a≠aaa, (13分) 10m+10m-500-100, (15分) 所以数列{a.}不是等比数列. (15分) 13.解：(1)由题意可知数列{a.}是等差数列，且a1= 因为函数y=10x十10x-100,y=- 0在 2 480.d=-20. (0,十○)上均单调递增， 所以am=500-20m. (2分) 由题意得6=750,61=号0.+250， 所以函数y=10r+10z-500 -100在(0，十∞)上 单调递增， (17分) 所以1-500=之(6.-50) (5分) 又n∈N°，所以B.一A。单调递增， 当n≤3时，B.一A。<0:当n>4时，B。一A>0, 又b-500=250, 所以该企业至少经过4年，进行技术改造的累计纯 所以数列（么.-500是首项为250，公比为2的等比 利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.(20分) 数列， (6分) 所以6.-500=250·（号），