(九)空间向量与立体几何综合-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考北师大版）

高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（九） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算©数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 (主题内容) I Ⅲ N T ① ② ③① ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由线面平行求参 易 0.80 2 选择题 5 求向量的模长 易 0.72 3 选择题 利用向量的运算求参 易 0.70 选择题 5 利用空间向量判断四 点共面 中 0.55 5 5 利用向量的运算求线 选择题 段长 0.45 6 选择题 5 求直线到平面的距离 中 0.30 7 选择题 6 基的概念 易 0.70 选择题 6 利用空间向量解决距 离、夹角问题 各 0.35 9 填空题 5 由三点共线求参 √ 易0.71 10 填空题 5 利用空间向量求线段 中 0.45 长度的最小值 11 解答题 13 利用空间向量求点到 直线、点到面的距离 么 0.60 利用空间向量证明面 12 解答题 15 面垂直，求二面角的余 中0.30 弦值 利用空间向量证明线 13 解答题 20 面平行，求线面角的正 难 0.28 弦值 ·37 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 1,D【解析】因为m∥a,所以a⊥b,所以a·b=x一2 c0s号+2×2×c0s号）=20，所以1AC1=25.故 ×8十y=0,整理得x-16十y=0.即x十y=16.故 选A. 选D. 2.A【解析】由题意得|a=|b=|cl=1,a·b a·c=b·c=0,所以|3a十b-2e=/(3a+b-2c) =√9a+b+4c+6a·b-12a·c-4b·c D √9+1十4=14，故选A. 3.D【解析】根据题意，利用空间向量的运算法则，可 得-成-Oi-专(oi+成)-十Oi- 6.D【解析】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA 0+号+c,因为M=-子a+b叶c, ⊥AC,又因为∠BAC=乏，所以AB⊥AC,所以以A 为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴，y轴，x轴 所以产=子，解得=子故选D 建立如图所示的空间直角坐标系， 4.B【解析】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， D 由题意可知B(2,0,0),D(0,0,2),E(0,2,2), 则A'(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1.1),所以BA7= M(0,0,1),N(1,2,0),则DE=(0,2,0),Di (0,-1.1),BC=(-1,0,1),设点P(x,y,x)在平 (2,0,-2),MN=(1,2,-1),Mi=(0,0,1).设平 面A'BC‘内，则由共面向量定理得，存在唯一的有序 面BDE的法向量为n=(x,y,z),则 实数对(A,),使B驴=入BA产+：BC,所以 n.DE=2y=0 1x-1=入·0十4·(-1)=一4「x=1一 n…Di=2-2=0令=1，得r=1y=0,所以 y一1=A·(一1)十以·0=一入，即y=1-A,对于A n=(1,0,1),因为MN·n=0,所以MN⊥n,又MN :=1·1+4·1=1十 x=入十4 亡平面BDE,所以MN∥平面BDE,所以直线MN 项，代入点坐标（号，号，宁）无解，故A错误：对于 到平面BDE的距离即为点M到平面BDE的距离， 所以直线MN到平面BDE的距离为M:nl=上 B项，代入点坐标（受，子，古），可解出 ,故B 】 =4 号故选D 正确：对于C项，代人点坐标（合，），无解，故 二、选择题 7.ACD【解析】由题意得|a|=|b|=|c|=1,a·b C错误：对于D项，代入点坐标(-一1，三，1)，无解，故 =a·c=b·c=0,对于A项，|a十b|=√2|c|=2, 故A正确：对于B项，因为a一b十b十c=a十c,所以 D错误.枚选B. {a一b,b十c,a十c}不能构成空间的一组基，故B错 5,A【解析】由题意可得AC=(A市+AD+AA) 误：对于C项，(a十b)·(a十c)=a=1,故C正确： =AB+AD+AA:+2(AB·AD+AB·AA+ 对于D项，因为不存在唯一的实数对(x,y),使得 A市.A)=4+4+4+2×(2×2X0受+2×2× x(a-b)十y(b十c)=a-e,所以{a-b,b+c,a-c 构成空间的一组基，故D正确，故选ACD, ·38· 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 8,BCD【解析】由题意可知C=C成+B戒=一AD+ 中点，即PA⊥BD,PC⊥BD, 2BA=-AD+2 (AA-AB)=-2 AB-AD+ 2AA,故B正确：以A1为原点，AF,A,B,AA1所 在直线分别为x轴y轴、：轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面 BCD=BD,APC平面ABD,所以AP⊥平面BCD, 因为PCC平面BCD,所以AP⊥PC,因为AP=PC =√3，PD=1,所以三棱锥A一PCD的外接球为图 则C(-1,1,0),Q(0,-1,1),C(-1,1,-1),E(1, 中右侧长方体的外接球，且该长方体的长，宽、高分 -1,-1),G(-1,-1,1),B(0,1,-1),D(-1,0, -1),所以QC=(-1,2.-1).C0=(1,-2,2) 别为5,15，所以外接球的半径R=3+3巨= 2 EC=(-2,2,0),EG=(-2,0,2).BD=(-1,-1, 吾，以P为原点，PB,PC,PA所在直线分别为 0),BC=(-1,0,1),点C到直线CQ的距离d 轴、y轴，：轴建立如图所示的空间直角坐标系， V-哥-(-9放 A错误：设平面ECG的法向量为n1=(xy,), m·EC=-2x1+2y=0 :心=-2+2=0令=1，得y=1, 则〈 =1,则n:=(1,1,1),设平面BCD的法向量为 n:=(r,y,),则 m:·Bi=-x-=0 令 n:·BC=-x十=0' x=-1,得y2=1,2=一1，则n:=(-1,1,-1),设 可知球心0(-士号号)B1,00).则1ò1= 平面ECG与平面BC,D所成锐二面角的平面角为9， 则os9-osma--子故c正 √-之-)+()+()=要，所以 确：设异面直线CQ与BD所成的角为a,则cosa= 1 C,Bdl=1Cd· |B1=B0-R=压-五 1 2 |C0BD1√1+4+4×2 四、解答题 号所以m8=T.放D正确，故选D 11.解：(I)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为 x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 三、填空题 9.-10【解析】：A,B,C三点共线，OA=2OB+ D 0元.∴.2+4=1，∴4=-1，：OA+m0i+n0 =00耐=一兴Oi-只元.又“A,B,C三点共 线一装一是=1+m+n=0 D 10.压，一互【解析】如图，△PAC的周长为PA十 2 PC+AC,其中AC为定值，PA=PC,则当PA取最 则D1(0,0,2),E(2,1,0),B1(2,2,2),F(0,2,1), 小值时，△PAC的周长最小，明显此时P为BD的 ·39· ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 所以D,E=(2,1,-2),BE=(0,-1,-2),DF (-2,2,-4), (10分) (0,2,-1) (3分) 设平面AEB的法向量为n=(x,yg), 所以点B,到直线DE的距离为 则n·A=4y+2:=0 VB:- BE·DE1 n·B,A=-4x-4:=0 D EI =√/5-I=2. (7分) 令x=2,得y=1,=-2, (2)设平面DEF的法向量为n=(x,y,e), 则n=(2,1,-2). (13分) n·D,E=2x+y-2x=0 设二面角O一AE一B,的平面角为8，由图可知0为 则 m,D,市=2y-z=0 锐角， 令y=2,得x=3,=4,则n=(3,2,4), (10分) 所以cos0=1cosm,B,01=1n…BO 所以点B到平面D,EF的距离为B它：nl_ 1nl·|BO n 6 6 -1×2-2×4⊥_10/2厘 5×/24 (13分) w√3+2+4F 29 所以二面角O-AE-B的平面角的余弦值为。 12.解：(1)因为BC是圆柱底面的直径， 所以AB⊥AC, (15分) 13.解：(1)因为四边形ABCD,ABEF均为正方形， 所以BC=√AB+AC=4√2，OA=OB=2√2， 所以BC⊥BA,BA⊥BE, B,O=BB+BO=2√6， 又平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面 因为AA⊥平面AB:C,所以AA⊥AB, ABEF=BA,BCC平面ABCD, 所以AB,=√AA+AB所=4√E, 所以BC⊥平面ABEF, 因为B,O十OA=AB, 又BEC平面ABEF,所以BC⊥BE, (3分) 所以B:O⊥OA, (3分) 所以以B为原点，BA,BE,BC所在直线分别为x 又E为CC的中点， 轴、y轴z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以OE=√0C+CE=2√5， B E=BCi+CE=6, 则B,O十OE=B1E, 所以B:O⊥OE, (5分) 又OE∩OA=O,OE,OAC平面AEO, 所以B,O⊥平面AEO, 因为BOC平面AB1O, 所以平面AEO⊥平面ABO (7分) (2)由题意可知AA⊥平面ABC,AB⊥AC, 则A(1,0,0),B(0,0,0), 以A为原点，AB,AC,AA所在直线分别为x轴，y 因为CM=BN=a, 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以M停a01-号aNΞa号ao: 则m=(o,号号。-1小 易知平面CBE的一个法向量为BA=(1,0,0), 所以.i-(o号号。-小·10.0)-0， 所以M⊥BA. (6分) 则A(0,0,0),E(0,4,2),B(4,04),0(2,2,0) 又MN女平面CBE, 所以A=(0,4,2),BA=(-4,0,-4). 所以MN∥平面CBE. (8分) 由(1)知平面AE0的一个法向量为B,O= 2)由1)可得=√+（。- ·40· -Ea+i=√(a-+之，其中0<a fnBi=+名=0 则 <2, n…B时=之+安y=0 当a=号时瓜最小，最小值为号 (13分) 取x=1,得y=一1，=-1，则n=(1,-1,-1), (17分) (3)由(2)可知，当MN的长最小时，M(号，0，号)， 设直线AM与平面MNB所成的角为a, N(分2o): 则sin9=jcos(Ai,m1= AM.m6 |AM·1n3 则A成=(-之0，)B成=（分，0，），B成= 所以直线AM与平面MNB所成角的正弦值为气。 (2,号0) (15分) (20分) 设平面MNB的法向量为n=(x,y,z),造学（北丽大服引露开性必修第一母第1项共4页引 衡水会馨·先草量·喜二同步因测卷九 数学（北师大密}选择性业修第一卧第？页「共页） 网，解答题（木题共3小题，共48分。解答风写1必要的文字说明，正明过程或演算步露） 13,木小题清分20分) 11.(本小题离分13分) 在如图所示的试验装置中，两个正方彩据架ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所 如图，在棱长为2的正方体ABCD一ABCD中，E,F分别是AB,CC的中点. 在的平面五相垂直，活动弹子M,N分别在正方形对角线AC,BF上移动，且CM, (I)求点B,到直线DE的距离： 0 BN的长度保持相等，记CM一BN一a(0<<区) (2)求点B,到平面)EF的距离： 《1)证明：MN∥平面CBE: 《2)当a为何值时，MN的长最小？ 《3)当MN的长最小时，求直线AM与平面MNB断截角的正弦值. 12.(本小题请分15分) 杭州第19属运动会开幕式现场，在AR技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升 铸而起，溢澜整个大莲花场第，脓汇为点点星河流向运方，绘就了一解万家灯火的美 好图景，灯毫又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千年的发展，灯 笼也发展出了不同的地城风格，形软也是于姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术 表现形式.现将一个阳柱形的灯笼切开，如图所示，平面C品为圆柱的轴截面， BC是国柱张面的直径，O为底面圆心，E为棱(C,的中点，AM,为一条母线.AB一 AC-AA-4. (1)求证：平面AE0平面ABO (2)求二而角0一A正一B,的平面角的余弦值 数学（北防大极}选择性必修第一册第多项（共4页引 衡水会荐·究草最·喜二同步丽测卷九 数学（北师大密}让择性业作第一卧第1夏共4页]