(六)直线与圆锥曲线的位置关系-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考北师大版）

U 世学（北肠大极引选择性必修第一导第1亚（共4页！ ① 衡水会馨·先草量·喜二同步因测卷光 数学（北师大密}选择性业修第一卧第？页「共页） 12.(本小题满分15分) 13,《木小题满分20分) 已知双曲线后一苦=1>0，b>0,0为坐标原点，离心率=2，点M,5.后)在双 已知精国E:号+芳=1(>6>)的左，右焦点分别为下，F过F的直线1与骑圆 曲线上， E交于P,Q两点，△PQF,的周长为8，集题为25： (1)求双向线的方程： (1)求精圆E的方程： (2》若直线1与双曲线的左，右两支分别交于点P,Q,且O币，0及-0，求证：P可+ (2)若直线m与疑O:x+y=相切.且与转留E交于不同的两点R.S,求RS引的 取值范围. 10QF为定随. 数学（北防大极}选择性必修第一册第多项（共4页引 衡水会荐·究草最·喜二同步丽测卷大 数学（北师大密}让择性业作第一卧第1夏共4页]高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第一册（六） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) Ⅲ W ① ② ③④⑤ 档次系数 1 选择题 抛物线的中点弦问题 易 0.80 2 选择题 5 由直线与椭圆有公共 点求参 多 0.72 3 选择题 由直线与抛物线的公 / 共点的个数求参 乡 0.70 4 选择题 双曲线的中点弦问题 农 0.55 5 选择题 5 椭圆的切点弦问题 务 0.45 6 选择题 5 抛物线与向量的综合 农 0.30 7 选择题 与双曲线有关的新定 6 义题 中 0.68 8 选择题 6 直线与二次曲线 难 0.28 9 填空题 5 由直线与双曲线相交 求参 公 0.55 10 填空题 5 阿基米德三角形问题 % 0.35 求抛物线的方程，直线 11 解答题 13 0.60 过定点问题 12 解答题 15 双曲线中的定值间题 中 0.35 13 解答题 20 直线与椭圆的位置 关系 难 0.28 香考誉案及解析 一、选择题 1,B【解析】设A(x,),B(xy),≠，则 y十为=1，又{=，两式相减得 1=4x2 （y+)(y一)=4（五-），所以二业= ·23· ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 4 =4,所以直线AB的斜率为4.故选B. yM十y y=x十m 2.A【解析】联立x 行+号-1消去y得江+8m十 4m一12=0，因为直线1与椭圆C有公共点，所以 △=64m2-4×7×(4m2-12)≥0，解得-√7≤m≤ √T,即实数m的取值范围为[一√F,厅]故选A 3.D【解析】当1=0时，直线1：x=0,与抛物线C有交 点，不符合题意，所以t≠0：设直线AB的方程为y= 4 y= tr-1 二、选择题 -1,联立 ,消去y得2x-4 7.ABD【解析】由题意得|PA|一|PB=2< 1 x2=2y x+1 |AB|=4,故点P的轨迹是以A(一2,0)，B(2,0)为 =0,因为直线1与抛物线C尤公共点，所以△= 焦点，且实轴长为2的双曲线的右支，则a=1,c=2, (-4)）广-4×2×1<0，解得>E或1K-E.故 所以=一a=3,所以点P的轨迹方程为x2一号 3 选D. =1(≥1).对于A联立y=号+1与-苦-1， 4.A【解析】设A(x,y),B(,为)，由题可知 M(1,3),所以x1+x:=2,十y:=6,因为 解得x=十？工>1，负值合去，故A正确：对于 8 倍- ,两式相诚，得”二兰=·十，则 B,联立y=x中1与2-苦=1，解得x=2>1,负值 -=1 一xay十y 舍去，放B正确：对于C,联立y=2十4与-苦 2-告·号解得华=6，即冬-5，所以双曲线C的 1,解得x=一8士35<0，不满足题意，故C错误：对 渐近线方程为y=士√x.故选A 于D联立y=+1与-芳=1，解得=反+ 5.C【解析】设M(2+6,t),A(x,y),B(x,y), √6>1，负值舍去，故D正确.故选ABD. 所以切线MA的方程为号+学=1，又点M在切 2 8.BCD【解析】因为曲线C:x十2xy十2y=1,点 线MA上，所以526)+兰=1①.同理可得 P(x0,如)为曲线C上一点，所以x+2xy。十2哈= 3 1,将点(-xo,%)代入曲线C的方程，得x6一2xy (21+6)+号=1②，由①®可得直线AB的方 十2y6=1一4.x0y=1,不一定成立，所以曲线C不关 3 2 于y轴对称，故A错误：将点（一x,一）代入曲线 程为2生62x+克y=1,即2(24+6)x+3y=6,即 C的方程，得x+2(一x)(y)+2y=+ 3 2xy6十2听=1，所以曲线C关于原点对称，故B正 4十3v+12x6)=0.所以26=0·解得 确：由曲线Cx2+2xy+2y=1,得2(y叶x） x一2 ,故直线AB恒过定点（合，一号）故 1-,因为2(y+x)）广≥0，所以1-r2≥0， 解得一√厄≤x≤反，又点P在曲线C上，所以x。∈ 3 选C. [E]故C正确联立十2+y得 6.B【解析】过点P作PH垂直于准线，垂足为H,则 5x十6x十1=0，则4=62一4×5×1=16>0，所以直 IPH|=|PF|,由QF=3F市，得|QF|=3|FP| 线y=x十1与曲线C有且仅有两个公共点，故D正 3|PH|·则|QP|=4IPH|,所以cos∠QPH= 确.故选BCD. =,则m∠QPH=√厂（宁= 三、填空题 9.(一√2，一1)【解析】因为直线y=kx一1与双曲线 tan∠QPH=√15，所以tan∠QFO=√5，则由对称 x2一y2=1的左支交于不同的两点，所以x一 性可知直线（的斜率为士√5，故选B. (kx一1)2=1即(1一k)x2+2kx-2=0有两个不同 ·24· 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 1一k≠0 设直线(OP的方程为y=kx(一√5<k</且k≠0)， △=4k2+8(1-k2)>0 因为O币.O0=0,所以Oj⊥O衣. 的负根，所以 <0 ,解得一√瓦<k 所以直线OQ的方程为y=- k: (8分) 名>0 12 r r2= 联立 412=1 得 3-k <一1，所以实数k的取值范围为（一√瓦，一1）. y=kx 12k:+ 10.248 【解析】把y=6代入方程x=6y,解得x y=3 ±6，不妨设A(6,6),B(一6,6)，设抛物线C在A 所以OP:= 12(k+1) 3一k (10分) 点处的切线方程为y一6=k(x一6)，即y=kx十 6(1-k),联立(y=T十6(1-R), ,消去y得x 12(1+是 同理可得，OQ1= 12(k+1) 3一 3k2-1 6kx+36(k-1)=0,由△=36k2-4×36(k-1)= 0,解得k=2,由对称性可知抛物线C在B点处的切 (13分) 线斜率为一2，故抛物线C在A点处的切线方程为 1 1 3-k2+(3k-1) y=2x一6，在B点处的切线方程为y=一2x-6,联 所以OPT+10QT 12(k十1) 立2。解得”。故这阿条切线的交 2+2k2 1 =12+万=6，为定值， (15分) 点坐标为(0，一6)，所以直线1与抛物线C所围成 13,解：(1)因为△PQF:的周长为|PF|+|PF,|+ 的封闭图形的面积为之×12×12×号=48， |QF|+lQF,|=4a=8. 3 所以a=2, (2分) 四、解答题 又2c=23,所以c=√3， 11.解：(1)将点A(一2,1)，B(2,4),C(2,1)分别代入 所以=a2-c2=1, (4分) 抛物线E:xr=2py(p>0), (6分) 得(-2)2=2p×1,解得p=2, 所以椭圆E的方程为号+y=1. 2=2pX4,解得D=宁， (2)由(1)可知圆O:x2十y2=1, 当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x 22=2p×1,解得p=2, (3分) -1或x=1, (7分) 因为点A(-2,1),B(2,4),C(2,1)中恰有两个点 ,则|Rs|= 在抛物线E上， 当x=1时取R(1,号)s(1, 所以p=2, (4分) 5, (8分) 所以抛物线E的标准方程为x2=4y, (6分) 当x=一1时，同理|RS|=√3： (9分) (2)由题意可知，直线MN的斜率一定存在， 当直线m的斜率为0时，不符合. 则设直线MN的方程为y=k十m: 当直线m的斜率存在且不为0时，设直线m的方程 联立” 为y=kx十t(k≠0)， 因为直线m与圆O相切， 消去y得x2一4kx-4m=0,△=16(k°十m)>0. 由韦达定理得x1x=一4m=一4， 所以L =1, +I 解得m=1,满足△>0， (10分) 所以k°=一1>0，所以>1， (11分) 所以直线MN:y=x+l, 设R(xy),S(x): 所以直线MN恒过定点(0,1). (13分) 12.解：(1)因为e=C=2, 联立+=1 a (y=kx十t 所以c=2a,f=c2-a=3a, (2分) 消去y得(4k+1)x+8ktx+4(-1)=0, 所以双曲线的方程为后一益-1， 4=16(4k-2+1)>0 x十x=一 8kt 即3x2-y2=3a”. (3分) 所以 4k2+1 (13分) 因为点M(5wW3)在双曲线上， 4(-1) 所以15-3=3a2,所以a2=4, (5分) 4k+1 所以双询线的方程为号一益=1 所以|RS|=√/(1+k)(x+x)一41x4] (6分) 8kt (2)由题意可得直线OP的斜率存在且不为0， 一4+1 ·25· 3(t-1)r =4√4r-3)· (15分) 当∈（分1）时√厂3（言）+亨单 令a=4r-3(2>1), 调递减， 则IRSl=√P 所以s1>×√-3(1-)+号=0， =√（公专）+， 所以|Rs|∈(0,2]. (20分) 因为0<<1.所以当-号时，1Rs1-2