第2章 第10节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第10节　函数模型及其应用

1．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．(重点)

2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．

[对应学生用书P57]

一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

1．函数y＝2x的函数值恒比y＝x2的函数值大．(　×　)

2．幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快．(　×　)

3．在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　×　)

二、教材典题改编

1．(人教A版必修第一册P53例4改编)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，且销量等于产量，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)

A．100台 B．120台

C．150台 D．180台

C　解析：设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000(0<x<240，x∈N*).令f(x)≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．

2．(人教A版必修第一册P161T10改编)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃.那么t min后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是38 ℃，则k的值约为________.(参考数据：ln 3≈1.10，ln 7≈1.95)

答案：0.25

三、易误易混澄清

1．(混淆指、对、幂函数的图象)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)

A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)

C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)

B　解析：在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增

长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x).

2．(分段函数模型的分界把握不到位)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，则汽车与A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数表达式是___________________.

答案：s＝　解析：当0≤t≤2.5时，s＝60t；当2.5<t≤3.5时，s＝150；当3.5<t≤6.5时，s＝150－50(t－3.5)＝325－50t.故s关于t的函数表达式为s＝

 

一、几类函数模型

二、三种基本函数模型的性质

(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；

(2)“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；

(3)“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．

[对应学生用书P58]

考点一　利用函数图象刻画变化过程

[例1] (1)如图所示，输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管内匀速滴下

液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x＝0时，h＝13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数h＝f(x)的图象为(　　)

(2)(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　)

A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态

B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态

C．当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态

D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态

(1)C　(2)D　解析：(1)由题意知，瓶内药液的体积为156π cm3，所以每分钟滴下π cm3药液．当4≤h≤13时，xπ＝π·42·(13－h)，即h＝13－，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ＝π·42·9＋π·22(4－h)，即h＝40－，此时144＜x≤156，所以函数h＝f(x)单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快．

(2)结合图象逐一验证，当T＝220，lg P＝lg 1 026>3时，由图象可知二氧化碳处于固态，故A错误；当T＝270，lg P＝lg 128∈(2，3)时，由图象可知二氧化碳处于液态，故B错误；当T＝300，lg P＝lg 9 987≈4时，由图象可知二氧化碳处于固态，故C错误；当T＝360，lg P＝lg 729∈(2，3)时，由图象可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确．