第2章 第9节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第9节　函数与方程

1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系．

2．了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，了解二分法求方程近似解具有一般性．

[对应学生用书P53]

 

一、函数的零点

1．函数零点的定义

对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．几个等价关系

方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点的判定(函数零点存在定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．

二、二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

三、二次函数的图象与零点的关系

有关函数零点的三个结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

 

一、“教考衔接”例证

二、教材典题改编

1．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3 B．2

C．7 D．0

B　解析：由或解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点．

2．(人教A版必修第一册P144T2改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，3) D．(3，4)

B　解析：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个根，且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)＜0，故f(x)的零点所在的区间为(1，2).

3．(人教B版必修第一册P126T3改编)函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　　)

A．－2 B．－

C． D．2

B　解析：由题意知，f(1)＝＋a＝0，解得a＝－.

三、易误易混澄清

1．(忽略函数零点存在定理的条件)设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得到f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根所在区间为(　　)

A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)

C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)

C　解析：因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5，2.75).

2．(忽视区间端点值)函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，则k的取值范围是________.

答案：[－1，－]　解析：依题意函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，所以k≠0，函数f(x)在定义域上是单调函数，所以f(1)·f(2)≤0，即(k＋1)(2k＋1)≤0，解得－1≤k≤－.

[对应学生用书P54]

考点一　函数零点所在区间的判定

[例1] (1)(多选)(2025·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)

A．(－2，－1) B．(－1，0)

C．(0，1) D．(1，2)

(2)(2025·广州质检)定义开区间(a，b)的长度为b－a.经过估算，函数f(x)＝－x的零点属于开区间____________(只需写出一个符合条件，且长度不超过的开区间即可).

(1)AD　(2)(，)(答案不唯一)　解析：(1)f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，

f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点．

(2)因为y＝，y＝－x都是减函数，所以f(x)＝－x是减函数，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(1)＝－<0，f()＝()－()<0，f()＝()－()>0，即f()·f()<0，所以函数f(x)在(，)上有零点，且－＝，符合题意，所以函数f(x)＝－x的