第2章 第7节 第1课时 指数、对数运算（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第7节　指数函数、对数函数

第一课时　指数、对数运算

1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．(重点)

2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．

[对应学生用书P39]

 

一、指数

1．根式的性质

(1)()n＝a(a使有意义)；

(2)当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝．

2．分数指数幂的意义

(1)a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

(2)a＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键！

3．有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).

二、对数

1．对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

①loga1＝0；②logaa＝1；③a＝N；④logaan＝n．(a>0，且a≠1，n∈R，N>0).

(2)对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).

(3)对数的换底公式

logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).

1．换底公式的变形

(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)；

(2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；

(3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M>0).

2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0).

3．对数恒等式：alog aN＝N(a>0，且a≠1，N>0).

 

一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

1.＝－4.(　×　)

2．分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　×　)

3．log2x2＝2log2x.(　×　)

4．若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则loga(M＋N)＝logaM＋logaN.　(　×　)

二、教材典题改编

1．[人教A版必修第一册P110习题4.1T7(1)改编]已知5m＝10，5n＝2，则5＝(　　)

A．2 B．3

C．20 D．5

D　解析：5＝＝＝＝＝5.

2．(人教A版必修第一册P109T1改编)下列运算中正确的是(　　)

A．＝2－π B．a＝

C．(mn)8＝ D．(x3－)＝x9

C　解析：对于A，2－π<0，所以＝π－2，A错误；对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－(－a)·＝－，B错误；对于C，(mn)8＝(m)8·(n)8＝，C正确；对于D，(x)＝x9－2＝x7，D错误．

3．(人教A版必修第一册P126T1改编)下列各式中正确的是(　　)

A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1

C．ln 3＋ln ＝1 D．log35－log315＝

B　解析：对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7log33＝7，故A错误；对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C错误；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误．

4．(人教A版必修第一册P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　)

A． B．

C．2a＋b D．2b＋a

A　解析：log1210＝＝＝.

三、易误易混澄清

1．[化简(a∈R)时忽略n的范围]计算＋＝________.

答案：2

2．(不熟悉对数的运算性质)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论是________.(填序号)

答案：①②③④⑤

3．(忽视真数大于零)已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则＝________.

答案：4

[对应学生用书P41]

考点一　指数式的化简与求值

[例1] (1)计算：27－(－)－2＋256－3－1＋(－1)0＝________.