第2章 第5节 二次函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第5节　二次函数

1．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．

2．能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题．

[对应学生用书P35]

 

一、二次函数解析式的三种形式

一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为y的零点．

二、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质

二次函数的单调性、最值与二次函数的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．

二次函数在闭区间上的最值

设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]：

(1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；

(2)当m＜－≤时，最小值为f(－)，最大值为f(n)；

(3)当＜－≤n时，最小值为f(－)，最大值为f(m)；

(4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m).

 

一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　×　)

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.　(　×　)

3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.(　√　)

4．二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).　(　×　)

二、教材典题改编

1．(人教B版必修第一册P98 T5改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　)

A．[－6，2] B．[－6，1]

C．[0，2] D．[0，1]

答案：A

2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________.

答案：(－∞，4]　解析：由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，可得－≥－3，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].

3．(北师版必修第一册P34T2改编)已知函数y＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则实数m的取值范围是________.

答案：[4，＋∞)　解析：y＝－x2＋4x＋2＝－(x－4)2＋10，对称轴为直线x＝4，且当x＝4时，函数取得最大值10，所以m≥4.

三、易误易混澄清

(忽视对二次项系数的讨论)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为(　　)

A． B．－3

C．或－3 D．4

C　解析：由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为

f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为或－3.

[对应学生用书P36]

考点一　二次函数的解析式

[例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求f(x)的解析式．

解：方法一(利用二次函数的一般式)

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

由题意得解得

故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

方法二(利用二次函数的顶点式)

设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).

∵f(2)＝f(－1)，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝＝.

∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，

∴f(x)＝a(x－)2＋8.

∵f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4，

∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.

方法三(利用二次函数的零点式)

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值ymax＝8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0(舍去)，

故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.