第2章 第4节 函数图象的对称性及性质的综合（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第4节　函数图象的对称性及性质的综合

1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．

2．会利用对称公式解决问题．

3．初步掌握函数性质的综合．

[对应学生用书P32]

 

一、奇函数、偶函数的对称性

1．奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．

2．若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(－2，0).

二、若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称．

三、两个函数图象的对称

1．函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；

2．函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；

3．函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．

四、对称性的四个常用结论

1．y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

2．y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．

3．若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

4．若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．

 

一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

1．若函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　)

2．若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点(，0)对称．(　√　)

二、教材典题改编

1．(人教A版必修第一册P87 T13改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝________________.

答案：4　解析：方法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，则f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.

方法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)关于点(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4.

2．(人教A版必修第一册P87 T13改编)若函数f(x)是R上的奇函数，则函数y＝f(x－1)＋1的图象必过定点________.

答案：(1，1)　解析：因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(x)的图象过定点(0，0)，因为f(x)的图象向右平移1个单位长度，又向上平移1个单位长度得到y＝f(x－1)＋1的图象，则函数y＝f(x－1)＋1的图象必过定点(1，1).

三、易误易混澄清

(对函数图象对称性的理解不透彻)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线________对称；若函数y＝g(x＋b)是奇函数，则函数y＝g(x)的图象关于点________对称.

答案：x＝a　(b，0)　解析：因为y＝f(x＋a)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，将y＝f(x＋a)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x＋a)图象的对称轴平移至直线x＝a处，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．同理，函数y＝g(x)的图象关于点(b，0)对称．

[对应学生用书P33]

考点一　函数图象的对称性

[例1] (2024·新课标 Ⅰ 卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形．

证明：f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)，f(2－x)＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x3)＝－ln －ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a，故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称．

函数对称性的解题思路

求解与函数的对称性有关的问题时，先根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，再结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．

训练1 (多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　)