第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第3节　函数的奇偶性与周期性

1．结合具体函数了解函数奇偶性的概念和几何意义，了解函数的周期性及其几何意义．

2．会判断函数的奇偶性并结合具体函数进行奇偶性与周期性的简单应用．(热点)

[对应学生用书P29]

 

一、函数的奇偶性

1．函数的奇偶性

(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．

(2)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

2．奇偶函数的等价形式

若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：

(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；

(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．

二、函数的周期性

1．函数奇偶性常用结论

奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量x的值：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

 

一、“教考衔接”例证

二、教材典题改编

1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列给出的函数是奇函数的是(　　)

A．y＝ B．y＝

C．y＝x3＋1 D．y＝sin x

答案：ABD

2．(苏教版必修第一册P127T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________.

答案：　解析：由于f(x)是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，且f(－x)＝f(x)，所以a＝，b＝0，所以a＋b＝.

3．(苏教版必修第一册P127T7改编)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝_____________________.

答案：－　解析：由题意，f(1)＝－f(－1)＝－2－1－2＝－.

4．(人教A版必修第一册P203练习4改编)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋4，则f(2 025)＝________.

答案：4　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 025)＝f(675×3＋0)＝f(0)＝4.

三、易误易混澄清

1．(忽视函数定义域)函数f(x)＝＋是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

答案：非奇非偶　解析：由得即x＝1，故函数f(x)的定义域为{1}，因为函数f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．

2．(不会构造奇、偶函数)已知函数f(x)＝ex－e－x＋x3＋3，若f(a)＝5，则f(－a)＝________.

答案：1　解析：设g(x)＝f(x)－3＝ex－e－x＋x3，则g(－x)＝e－x－ex－x3＝－(ex－e－x＋x3)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为g(a)＝f(a)－3＝2，所以g(－a)＝f(－a)－3＝－2，则f(－a)＝1.

[对应学生用书P30]

考点一　判断函数的奇偶性

[例1] 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝x3－2x；

(3)f(x)＝

解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)函数f(x)的定义域为R.又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．

(3)方法一(图象法)　画出函数f(x)＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．

方法二(定义法)　易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x＞0时，f(x)＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋x，