第2章 第2节 第2课时 函数单调性的应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第二课时　函数单调性的应用

[对应学生用书P27]

考点一　求函数的最值或值域

[例1] 求下列函数的最值：

(1)f(x)＝，x∈[1，4]；

(2)f(x)＝2x2－.

解：(1)(单调性法)∵f(x)＝＝＝2－，x∈[1，4]，

∴f(x)在[1，4]上单调递增，∴函数的最小值为f(1)＝，最大值为f(4)＝.

(2)(换元法)令＝t，t≥1，则x2＝t2－1，

∴y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2(t≥1).

∵y＝2t2－t－2(t≥1)的对称轴为直线t＝，

∴当t≥1时，y＝2t2－t－2的图象是上升的，

∴ymin＝2×12－1－2＝－1，

∴函数f(x)的最小值为－1，无最大值．

求函数最值(值域)的五种常用方法

(1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；

(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

训练1 函数y＝的值域是________.

答案：[2，＋∞)　解析：y＝＝＝＋.

令t＝(t≥1)，则y＝t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1，x＝0时，等号成立，因此函数的最小值为2，无最大值，即函数的值域是[2，＋∞).

考点二　比较函数值的大小

[例2] 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b B．c>b>a

C．a>c>b D．b>a>c

D　解析：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－)＝f().当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<<e，所以f(2)>f()>f(e)，即b>a>c.

利用单调性比较函数值大小的方法

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用插值法比较大小．

训练2 (1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)

A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)

C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)

A　解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，所以f(π)>f(3)>f(2)，所以f(π)>f(－3)>f(－2).

(2)已知函数f(x)＝lg x－()x，f(m)＝1，且0<p<m<n，则(　　)

A．f(n)<1且f(p)>1     B．f(n)>1且f(p)>1

C．f(n)>1且f(p)<1     D．f(n)<1且f(p)<1

C　解析：∵函数y＝lg x，y＝－()x在(0，＋∞)上均单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵0<p<m<n，且f(m)＝1，∴f(p)<f(m)＝1<f(n).

考点三　利用单调性解函数不等式

[例3] 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________________.

答案：(－，－2)∪(2，)　解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2.由f(x2－4)<2得f(x2－4)<f(1).所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<.

解函数不等式的思路

求解函数不等式时，首先结合函数的单调性，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小