第2章 第2节 第1课时 函数的单调性（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第2节　函数的单调性与最值

1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解它的作用和实际意义．(重点)

2．掌握函数单调性的判断及简单应用．(热点)

[对应学生用书P24]

 

一、函数的单调性

1．单调函数的定义

2.单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．

关于函数单调区间需注意：

(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．

(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．

(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.

二、函数的最值

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值．

1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减).

2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．

3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．

4．复合函数的单调性：同增异减．

 

一、“教考衔接”例证

二、教材典题改编

1．(人教A版必修第一册P79练习T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A．y＝－x B．y＝x2－x

C．y＝x＋ D．y＝ex

答案：A

2．(苏教版必修第一册P121T2改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　　)

A．(1，＋∞) B．(－∞，1)

C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)

答案：A

3．(人教A版必修第一册P81例5改编)函数f(x)＝(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为______，最大值为________.

答案：　2

4．(人教B版必修第一册P107练习BT1改编)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________.

答案：[－1，1)　解析：由条件知解得－1≤a＜1.

三、易误易混澄清

1．(易忽略两个区间不能用“∪”连接)设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________.

答案：[－1，1]，[5，7]

2．(混淆“单调区间”与“在区间上单调”)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________.

答案：(－∞，2]　解析：函数f(x)＝x2－2mx＋1的对称轴为直线x＝m，由题意知[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，所以m≤2.

3．(忽略单调区间与定义域的关系)函数f(x)＝lg (9－x2)的定义域为________；其单调递增区间为___________________.

答案：(－3，3)　(－3，0]　解析：对于函数f(x)＝lg (9－x2)，令9－x2＞0，解得－3＜x＜3，可得函数的定义域为(－3，3).令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg (g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(－3，0]，所以函数f(x)＝lg (9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3，0].

4．(易忽视x2的范围导致值域变大)函数y＝的值域为________.

答案：[－1，1)　解析：由y＝＝＝1＋，令t＝x2＋1，则t≥1，∴∈[－2，0)，∴y＝1＋∈[－1，1)，∴所求函数的值域为[－1，1).