第1章 第6节 一元二次不等式恒(能)成立问题（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第6节　一元二次不等式恒(能)成立问题

[对应学生用书P19]

考点一　在R上的恒成立问题

[例1] (2024·济南模拟)不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2}

C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2}

B　解析：当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2.综上所述，实数a的取值范围为{a|－1<a≤2}．

一元二次不等式在R上恒成立的条件

训练1 (1)若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋>0对于一切实数x都成立，则实数k满足(　　)

A．{k|k<} B．{k|k<－}

C．{k|－<k<} D．{k|k>－}

C　解析：由题意得Δ＝(－k)2－4×2×<0，整理可得k2－3<0，解得－<k<.

(2)(2025·常州模拟)已知不等式>2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________.

答案：[2，10)　解析：因为x2＋x＋2＝(x＋)2＋>0，所以原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4，即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0恒成立．当k＝2时，2>0，显然成立；当k≠2时，k满足不等式组解得2<k<10.综上所述，实数k的取值范围是[2，10).

考点二　在给定区间上的恒成立问题

[例2] 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取

值范围为________.

答案：(－∞，)　解析：要使f(x)<5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立．因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0，又m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立．令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是(－∞，).

一元二次不等式在给定区间上的

恒成立问题的两种解法

(1)讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题．

(2)结合图象进行分类讨论，转化为根的分布问题．

训练2 (1)若不等式x2＋ax－1≤0对于一切x∈[1，4]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|a>－} B．{a|－≤a≤0}

C．{a|a>0} D．{a|a≤－}

D　解析：x2＋ax－1≤0，x∈[1，4]，则a≤－x＋，y1＝－x和y2＝在[1，4]上单调递减，故f(x)＝－x＋在[1，4]上单调递减，f(x)min＝f(4)＝－4＋＝－，即a≤－.

(2)(2025·荆宜三校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，则实数m的取值范围为(　　)

A．(－∞，] B．(－∞，3]

C．(，＋∞) D．(3，＋∞)

D　解析：方法一　因为命题“∃x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，所以∀x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题，又f(x)>－m＋2，即mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3.当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，所以m>在x∈[1，3]上恒成立，所以m>()max，因为x∈[1，3]，当x＝1时，x2－x＋1有最小值1，此时有最大值3，所以m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞).