第1章 第5节 一元二次函数、方程和不等式（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第5节　一元二次函数、方程和不等式

1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．

2．了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式．(重点)

3．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．

[对应学生用书P16]

 

一、一元二次不等式

把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形．

二、三个“二次”间的关系

三、分式不等式与整式不等式

1.＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)．

2.≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．

四、(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集

1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．

2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．

(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或

(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或

 

一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

1．ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式．(　×　)

2．若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　√　)

3．若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＜0)的解集为R.　(　×　)

二、教材典题改编

1．(人教B版必修第一册P75练习B T1改编)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　　)

A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4}

C．{0，1} D．{2，4}

D　解析：由题意得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，∴A∩B＝{2，4}．

2．(苏教版必修第一册P69T9改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　　)

A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}

C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}

B　解析：不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m.

3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为______________________.

答案：(－3，0]　解析：当k＝0时，满足题意；当k≠0时，解得－3<k<0，所以－3<k≤0.

三、易误易混澄清

1．(忽视二次项的符号)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　　)

A．(，＋∞) B．[，2]

C．[2，＋∞) D．(－∞，]

B　解析：由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)·(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为[，2].

2．(三个二次关系认识混乱)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________.

答案：－14　解析：∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，

∴解得∴a＋b＝－14.

[对应学生用书P18]

考点一　不含参数的一元二次不等式的解法

[例1] (1)不等式x(2x＋7)≥－3的解集为(　　)

A．(－∞，－3]∪[－，＋∞) B．[－3，－]

C．(－∞，－2]∪[－，＋∞) D．[－2，－]

(2)(2025·北京海淀区模拟)不等式>0的解集为________.

(1)A　(2){x|x>1或x<－2}　解析：(1)x(2x＋7)≥－3可化为2x2＋7x＋3≥0，令2x2＋7x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝－，所以x≤－3或x≥－，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[－，＋∞).

(2)不等式>0等价于(x－1)(x＋2)>0，解得x>1或x<－2，所以不等式>0的解集为{x|x>1或x<－2}．

解一元二次不等式的步骤

(1)将二次项系数化为正数；

(2)计算判别式；