第1章 第4节 第2课时 基本不等式的综合应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第二课时　基本不等式的综合应用

[对应学生用书P15]

考点一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题

[例1] 若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．[0，＋∞) B．[－，＋∞)

C．[，＋∞) D．[，＋∞)

B　解析：依题意得，当x＞0时，2a＋1≥＝恒成立，又因为x＋≥4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，所以的最大值为，所以2a＋1≥，解得a≥－，所以实数a的取值范围为[－，＋∞).故选B．

[变式探究] 本例变为若x>0，不等式>m2－m有解，则实数m的取值范围是________.

答案：(－1，2)　解析：因为x>0，所以＝≤＝2，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，所以()max＝2，所以m2－m<2，即(m＋1)(m－2)<0，得－1<m<2，所以实数m的取值范围是(－1，2).

利用基本不等式解决恒成立问题的解题策略

含参的不等式恒(能)成立问题，若能分离参数，则分离后利用最值转化法求解：

(1)若a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若a<f(x)恒成立，则a<f(x)min.

(2)若a>f(x)有解，则a>f(x)min；若a<f(x)有解，则a<f(x)max.

训练1 (1)已知正数x，y满足(x－2)(y－1)＝2，若不等式x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(8，＋∞) B．(4，＋∞)

C．(－∞，8) D．(－∞，4)

C　解析：因为x>0，y>0，则(x－2)(y－1)＝xy－(x＋2y)＋2＝2，所以x＋2y＝xy，所以＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立．又x＋2y>m恒成立，所以m<8，即实数m的取值范围是(－∞，8).

(2)(2025·绍兴质检)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1，4) B．(－4，1)

C．(－∞，－1)∪(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)

C　解析：因为两个正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时等号成立，因为不等式x＋＜m2－3m有解，所以m2－3m大于x＋的最小值，即m2－3m＞4，解得m＜－1或m＞4，即实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)，故选C．

考点二　基本不等式的实际应用

[例2] 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速(m/s).当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为(　　)

A．135 B．149

C．165 D．195

B　解析：由题意得，N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时等号成立，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B．

利用基本不等式解决实际问题的步骤

(1)理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；