第1章 第4节 第1课时 基本不等式 （Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第4节　基本不等式

1．掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．

2．掌握基本不等式在实际生活中的应用．

[对应学生用书P10]

 

一、基本不等式：≤(a>0，b>0)

1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

二、算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

三、利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

1．如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)

2．如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值是S2．(简记：和定积最大)

谨防2个失误点

(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必须相同，否则可能会造成错误．

(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值．

几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).

(2)＋≥2(a，b同号).

(3)ab≤()2(a，b∈R).

(4)≥()2(a，b∈R).

(5)基本不等式链

≤≤≤(a>0，b>0).

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

 

一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　×　)

2．函数y＝x＋的最小值是2.(　×　)

3．x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　×　)

二、教材典题改编

1．(苏教版必修第一册P59T4改编)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　)

A．4 B．5   

C．6 D．7

C　解析：9a＋≥2＝6.当且仅当9a＝，即a＝时，等号成立．

2．(人教B版必修第一册P73例1改编)若x<0，则x＋(　　)

A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2

C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2

D　解析：因为x<0，则－x＞0，所以－(x＋)＝(－x)＋(－)≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.

3．[人教A版必修第一册P46例3(2)改编]矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　)

A．4 B．   

C． D．2

B　解析：依题意可得a，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以ab≤＝，则矩形面积的最大值为.

4．[人教A版必修第一册P48习题2.2T1(2)改编]函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________.

答案：　解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤[]2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

三、易误易混澄清

1．(应用基本不等式忽略“正”)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________.

答案：1＋2　解析：因为x<0，所以y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2＝1＋2，当且仅当－2x＝－，即x＝－时，等号成立，故y的最小值为1＋2.

2．(连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________.

答案：4　解析：∵x>0，y>0，∴>0.∵x＋2y＝5，∴＝＝＝2＋≥2＝4，当且仅当即或时，等号成立，∴的最小值为4.