第1章 第3节 不等式及其性质（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第3节　不等式及其性质

1．理解用作差法比较两个实数大小的理论依据．

2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．(重点)

[对应学生用书P7]

 

一、比较两个实数大小的方法

二、不等式的性质

(1)注意不等式成立的条件．

(2)注意不等式性质的单向与双向性，即是否具有可逆性．

不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

①a>b，ab>0⇒<；

②a<b<0⇒>；

③a>b>0，0<c<d⇒>；

④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.

(2)有关分数的性质

若a>b>0，m>0，则

①真分数的性质：<，>(b－m>0)；

②假分数的性质：>，<(b－m>0).

 

一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

1．两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　√　)

2．若a＞b，则ac2＞bc2.(　×　)

3．若＞1，则a＞b.(　×　)

4．a＝b⇔ac＝bc.(　×　)

二、教材典题改编

1．(人教A版必修第一册P42例2改编)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A．－＞0 B．－＜0

C．＞ D．＜

答案：D

2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．ln a<ln b B．>

C．a2<b2 D．a3<b3

D　解析：对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，<，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确．

3．(人教A版必修第一册P43习题2.2T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________.

答案：<　解析：－＝＝，

∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，∴<0，

∴<.

三、易误易混澄清

1．(忽视不等式成立的条件)已知a，b，c，d为实数，若a>b且c>d，则下列结论中正确的是(　　)

A．a2>b2 B．ac2>bc2

C．a＋c>b＋d D．ac>bd

C　解析：当a，b为负数时，A选项显然不成立；当c＝0时，B选项显然不成立；根据不等式的同向可加性可知C选项成立；当a，b，c，d为负数时，D选项显然不成立．

2．(误用同向可减性、区间端点开闭出错)若实数x，y满足－1<x<2，－2≤y≤1，则y－x的取值范围是__________.

答案：(－4，2)　解析：因为－1<x<2，所以－2<－x<1，又因为－2≤y≤1，所以－2＋(－2)<y－x<1＋1，即－4<y－x<2.

[对应学生用书P8]

考点一　比较两数(式)的大小

[例1] (1)(2025·石嘴山模拟)设M＝ab－b2，N＝a2－ab，则M，N的大小关系是________.

(2)若a＝，b＝，则a______b(填“＞”或“＜”).

答案：(1)N≥M　(2)＜　解析：(1)因为M＝ab－b2，N＝a2－ab，所以N－M＝(a2－ab)－(ab－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以N≥M.

(2)方法一(作差法)　a－b＝－＝＝<0，所以a<b.

方法二(作商法)　易知a，b都是正数，＝＝＝＝log89>1，所以b>a.