第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

第2节　常用逻辑用语

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．

2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定．(热点)

[对应学生用书P4]

 

一、充分条件、必要条件与充要条件的概念

对于给定命题，首先要明确条件是什么，结论是什么，然后再考虑互推关系．

二、全称量词与存在量词

1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．

2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．

三、全称量词命题和存在量词命题

对没有量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词．

1．充分、必要条件与对应集合之间的关系

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．

(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；

(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；

(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；

(4)若p是q的充要条件，则A＝B.

2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．

3．命题p与p的否定的真假性相反．

 

一、思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)

1．“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题．(　×　)

2．写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．(　√　)

3．当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　√　)

4．若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　√　)

二、教材典题改编

1．[人教A版必修第一册P23习题1.4T2(5)改编]设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：C

2．[人教A版必修第一册P31例5(2)改编]命题“∃x∈R，x2－x＋1＝0”的否定是____________________.

答案：∀x∈R，x2－x＋1≠0

3．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.

答案：(－∞，3)　解析：依题意可知，集合A是集合B的真子集，所以实数a的取值范围是(－∞，3).

三、易误易混澄清

1．(不对命题完全否定)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)

A．任意一个无理数，它的平方不是有理数

B．任意一个无理数，它的平方是有理数

C．存在一个无理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案：A

2．(混淆条件与结论)“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　)

A．－1<x<－ B．x>0

C．－1<x<0 D．x<0

D　解析：ln (x＋1)<0等价于0<x＋1<1，即－1<x<0，这是结论，因为－1<x<0可以推出

x<0，而x<0不能推出－1<x<0，所以x<0是－1<x<0的必要不充分条件，所以“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”．

3．(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的________条件．

答案：充分不必要

[对应学生用书P5]

考点一　充分、必要条件的判断

[例1] (1)(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)(2025·天津模拟)对于实数x，“x≠5”是“|x－3|≠2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(1)C　(2)B　解析：(1)根据立方的性质和指数函数的性质，“a3＝b3”与“3a＝3b”都当且仅当a＝b时，等号成立，所以二者互为充要条件．

(2)因为|x－3|≠2等价于x≠1且x≠5，且(－∞，1)∪(1，5)∪(5，＋∞)是(－∞，5)∪(5，＋∞)的真子集，所以“x≠5”是“|x－3|≠2”的必要不充分条件．

判断充分、必要条件的两种方法

(1)定义法：①弄清条件p和结论q分别是什么；②尝试p⇒q，q⇒p；③根据定义进行判断．

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含(或真包含)关系进行判断．

定义法适用于推理判断性问题，集合法适用于涉及字母范围的推断问题．

训练1 (1)(2025·广州调研)已知p：(x＋2)·(x－3)<0，q：|x－1|<2，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

B　解析：由已知得p：－2<x<3，q：－1<x<3，由于{x|－2<x<3}{x|－1<x<3}，所以p是q的必要不充分条件．

(2)(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　)

A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件

C．甲是乙的充要条件