课时训练(50) 与球有关的切、接问题（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(50)　与球有关的切、接问题 一、单选题 1．若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为(　　) A． B． C． D．3π C　解析：因为正方体的体对角线长为其外接球的直径，所以球的直径为，即半径r＝，故该球的体积为V＝·r3＝×()3＝. 2．(2025·广州阶段练习)已知半径为3，高为1的圆锥底面圆周上的点和顶点均在球O的表面上，则球O的体积为(　　) A．125π B． C． D． D　解析：设球O的半径为R，结合圆锥的轴截面可得R2＝32＋(R－1)2，解得R＝5，所以球O的体积为V＝πR3＝π. 3．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 C　解析：根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2×3＝18. 4．(2025·合肥开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝4，则该四棱锥外接球的体积为(　　) A．24π B．2π C．20π D．8π D　解析：根据几何体结构特征，将该几何体补形为长方体ABCD-PB1C1D1，显然四棱锥P-ABCD的外接球即为长方体ABCD-PB1C1D1的外接球，所以外接球球心在PC中点处，又PC＝＝2，故外接球半径R＝，所以V＝πR3＝8π. 5．(2025·亳州开学考试)已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为π的球面上，该圆柱的侧面积为(　　) A．8π B．6π C．5π D．4π A　解析：球的体积为πR3＝π，可得其半径R＝，圆柱的底面直径为2，半径为r＝1，在轴截面中，可知圆柱的高为h＝2＝4，所以圆柱的侧面积为2πrh＝8π. 6．已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为(　　) A．3π B．5π C．8π D．9π C　解析：设圆台的上底面圆的半径为r，则下底面圆的半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面．由于球O与圆台的上、下底面及母线均相切，故l＝AD＝AH＋DG＝r＋2r＝3r.根据圆台的侧面积公式S＝(πr＋2πr)l＝9π，可得r＝1，所以球的直径为HG＝2，故球O的半径为，表面积为8π. 7．(2025·潍坊模拟)已知圆锥的底面半径为2，高为4，则该圆锥内切球的表面积为(　　) A．4π B．8π C．16π D．32π B　解析：圆锥与内切球的轴截面图如图所示，设点O为球心，内切球的半径为r，D，E为切点，OD＝OE＝r，由条件可知，BE＝BD＝2，所以AB＝＝6，在Rt△ADO中，AO2＝AD2＋DO2，即(4－r)2＝(6－2)2＋r2，解得r＝，所以圆锥内切球的表面积S＝4πr2＝8π. 8．(2025·黄冈模拟)若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为(　　) A．2∶1 B．3∶2 C．7∶3 D．7∶4 C　解析：如图，设O1，O2分别为该正棱柱的底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内切球，则OO1＝O1D＝，即内切球的半径r＝，OA2＝OO12＋O1A2＝7，即外接球的半径R＝，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR2∶4πr2＝R2∶r2＝7∶3. 二、多选题 9．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一个球的球面上，则该球的体积可能是(　　) A．π B．π C．π D．π BCD　解析：设长方体未知的两棱长分别为a，b，则ab×1＝1，ab＝1，设外接球半径为R，则2R＝，球体积为V＝πR3＝(a2＋b2＋1).因为a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以V≥π. 10．(2025·太原模拟)将一个直径为10 cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是(　　) A．底面直径为8 cm，高为6 cm的圆柱体 B．底面直径为8 cm，高为8 cm的圆锥体 C．底面直径为7 cm，高为9 cm的圆锥体 D．各棱长均为8 cm的四面体 ABD　解析：对于A，若圆柱的底面直径为8，则半径为4，此时球心到圆柱底面的距离为＝3，故圆柱的高可以为6，A符合；对于B，若圆锥的底面直径为8，则半径为4，此时球心到圆锥底面的距离为＝3，故圆锥的高最大时为3＋5＝8，B符合；对于C，若圆锥的底面直径为7，则半径为，此时球心到圆锥底面的距离为＝<＝4，故圆锥的高最大时为＋5<9，C不符合；对于D，若将各棱长均为8 cm的四面体放入到棱长为4的正方体中，此时正方体的外接球直径为×4＝4<10，故D符合． 三、填空题 11．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案：　解析：圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线长BS＝3，底面半径BC＝1，其高SC＝＝2，不妨设该内切球与母线BS切于点D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，得＝，即＝，解得r＝，V＝πr3＝. 12．如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________． 答案：　6π　解析：如图，添加的三棱锥为直三棱锥E-ADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF-BCE，因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，所以S△BCE＝CE×BC＝×1×1＝，直三棱柱ADF-BCE的体积V＝S△BCE·AB＝×2＝1，添加的三棱锥的体积为V＝. 方法一　如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF-BCE中，CE⊥平面ABCD，所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90˚，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，AO即为球的半径，因为AM＝AF＝，MO＝1，所以AO2＝AM2＋MO2＝＋1＝，所以外接球的表面积为4π·AO2＝6π. 方法二　因为CE，CB，CD两两垂直，故将直三棱柱ADF－BCE补成长方体，设外接球的半径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 13．(2025·淮北模拟)半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是(　　) A．1＋ B．＋ C．＋ D．＋ D　解析：三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为2的正三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A.如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B.则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，由(R－)2＝22＋()2可得R＝＋. 14．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A． B． C． D． C　解析：该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，则V′＝π(1－3h2)，令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，所以V＝π(1－h2)h在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，所以当h＝时，圆锥的体积最大，四棱锥的体积最大． 15．已知三棱锥S-ABC外接球O的体积为288π，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，cos ∠CBA＝，则三棱锥S-ABC体积的最大值为________． 答案：48＋8　解析：在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠CBA，解得BC＝10.因为AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB，所以Rt△BAC的外接圆半径为5.设外接球的半径为R，因为πR3＝288π，故R＝6.球心O到平面ABC的距离d＝＝，当平面SBC⊥平面ABC时，三棱锥S-ABC的体积最大，最大体积为×(×6×8)×(6＋)＝48＋8. 16．(2025·潮州高三期末)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为________． 答案：8π　解析：如图所示，设CD＝x，由题意得：C′B＝，在△C′BD中，由余弦定理得C′B2＝C′D2＋BD2－2C′D·BD·cos 135˚， 即()2＝x2＋()2－2x··(－)，即x2＋2x－8＝0，解得x＝2或x＝－4(舍去)，如图所示， 该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为R＝×＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝8π. 学科网（北京）股份有限公司 $$