课时训练(17)对数函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(17)　对数函数 一、单选题 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B． C．logx D．2x－2 A　解析：由题意得，f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2，所以f(x)＝log2x. 2．函数f(x)＝＋lg (5－3x)的定义域是(　　) A．[0，) B．[0，] C．[1，) D．[1，] C　解析：函数f(x)＝＋lg (5－3x)的定义域满足解得1≤x＜，即所求定义域是[1，). 3．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为(　　) A　解析：函数f(x)＝log2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；由f(－x)＝log2(|－x|－1)＝log2(|x|－1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D． 4．已知函数f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b C　解析：∵a＝|lg |＝|－lg 4|＝lg 4，b＝|lg |＝|－lg 2|＝lg 2，c＝|lg 3|＝lg 3，且f(x)＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，∴lg 4＞lg 3＞lg 2，即a＞c＞b.故选C． 5．函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为(　　) A．－ B．－2 C．－ D．0 A　解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f(x)＝(－2＋log2x)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝(log2x－)2－≥－.当x＝时，函数取得最小值．故选A． 6．(2025·开封模拟)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3] B．(1，3) C．(0，1) D．(1，＋∞) A　解析：令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0，2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax>0在(0，2)上恒成立，且a>1，故有解得1<a≤3. 二、多选题 7．函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a＞1 B．0＜c＜1 C．0＜a＜1 D．c＞1 BC　解析：由图象可知0＜a＜1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1. 8．已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的为(　　) A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的最大值为0 D．f(x)在区间(－1，1)上单调递增 BC　解析：函数f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，由f(－x)＝log2(1－|－x|)＝log2(1－|x|)＝f(x)，得f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，所以A错误，B正确；根据f(x)的图象(图略)可知D错误；因为1－|x|≤1，所以f(x)≤log21＝0，故C正确． 三、填空题 9．若函数y＝4＋loga(2x－1)(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为________. 答案：(1，4)　解析：令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点(1，4). 10．(2025·揭阳模拟)已知函数f(x)满足：①f(x)＋f()＝0；②在定义域内单调递增．请写出一个符合条件①②的函数的表达式________. 答案：f(x)＝ln x(答案不唯一)　解析：取f(x)＝ln x，则f(x)＋f()＝ln x＋ln ＝ln x－ln x＝0，满足①；因为e>1所以f(x)＝ln x在定义域(0，＋∞)内单调递增，满足②，故符合条件①②的函数的表达式可以为f(x)＝ln x． 四、解答题 11．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间[0，]上的最大值． 解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2.又a＞0，且a≠1， ∴a＝2. 由得－1＜x＜3， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)·(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈[0，1]时，f(x)单调递增； 当x∈(1，]时，f(x)单调递减，故函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2. 12．(2025·贵阳模拟)已知a＝40.3，b＝(log4a)4，c＝log4(log4a)，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b A　解析：因为a＝40.3>40＝1，b＝(log4a)4＝0.34<1，且0.34>0，则0<b<1，c＝log4(log4a)＝log40.3<0，所以a>b>c，故选A． 13．已知函数f(x)＝x2＋ln |x|，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D　解析：函数f(x)＝x2＋ln |x|的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)2＋ln |－x|＝x2＋ln |x|＝f(x)，所以f(x)＝x2＋ln |x|为偶函数，函数图象关于y轴对称，当x＞0时，f(x)＝x2＋ln x，因为y＝x2与y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 14．已知函数f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________. 答案：4　解析：由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，所以f(x)的定义域为{x|x＞4或x＜－2}．又μ(x)＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，而y＝lg μ(x)在(a，＋∞)上单调递增，f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4. 15．若函数f(x)＝ln (ax2＋x＋2)的定义域为R，则实数a的取值范围为________；若此函数的值域为R，则实数a的取值范围为________. 答案：(，＋∞)　[0，]　解析：根据题意得，ax2＋x＋2>0的解集为R， ∴解得a>，∴实数a的取值范围为(，＋∞).∵f(x)的值域为R， ∴a＝0或 解得a＝0或0<a≤，即0≤a≤，∴实数a的取值范围为[0，]. 16．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1. (1)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (2)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围． 解：(1)f(x)是奇函数，证明如下： 因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)， 所以解得－1＜x＜1， f(x)的定义域为(－1，1). f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(－x＋1)]＝－f(x)， 故f(x)是奇函数． (2)因为当a＞1时，y＝loga(x＋1)是增函数， y＝loga(1－x)是减函数， 所以当a＞1时，f(x)在定义域(－1，1)内是增函数， f(x)＞0即loga(x＋1)－loga(1－x)＞0， loga＞0，＞1，＞0， 2x(1－x)＞0，解得0＜x＜1， 故使f(x)＞0的x的取值范围为(0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$