课时训练(15)指数、对数运算（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(15)　指数、对数运算 一、单选题 1．(2024·郑州三模)若a≥0，b∈R，则化简2＋()2＋的结果是(　　) A．3＋a＋b B．3＋a＋|b| C．2＋a＋b D．2＋a＋|b| B　解析：由2＝3，()2＝a，＝|b|可知，2＋()2＋＝3＋a＋|b|. 2．若log2x＋log4y＝1，则(　　) A．x2y＝2 B．x2y＝4 C．xy2＝2 D．xy2＝4 B　解析：log2x＋log4y＝log2x＋log2y＝log2x＋log2y＝log2(xy)＝1，所以xy＝2，两边平方得x2y＝4.故选B． 3．(2024·杭州模拟)化简(a＞0，b＞0)的结果是(　　) A． B． C． D． B　解析：＝＝ab＝ab－1＝. 4．(2025·宁波模拟)已知x>0，y>0，则(　　) A．7ln x＋ln y＝7ln x＋7ln y B．7ln (x＋y)＝7ln x·7ln y C．7ln x·ln y＝7ln x＋7ln y D．7ln (xy)＝7ln x·7ln y D　解析：设x＝1，y＝2，则7ln 1＋ln 2＝7ln 2≠7ln 1＋7ln 2，A错误；7ln (1＋2)＝7ln 3≠7ln 1·7ln 2，B错误；7ln 1·ln 2＝1≠7ln 1＋7ln 2，C错误；7ln (xy)＝7ln x＋ln y＝7ln x·7ln y，D正确． 5．(2024·南通二模)已知函数f(x)＝，则f(log29)＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为f(x)＝由于log29>3，则f(log29)＝f(log29)＝f(log23)＝2log23＋＝3＋＝. 6．(2024·广州二模)已知正实数m，n满足ln m＝ln (m－2n)－ln n，则＝(　　) A．1 B． C．4 D．1或 B　解析：由ln m＝ln (m－2n)－ln n，得ln ＝ln (m－2n)，因此＝m－2n>0，整理得2()2＋－1＝0，解得＝，即＝，经检验符合题意，所以＝. 7．(2024·茂名一模)Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为f(x)＝kab－x(其中k>0，b>0，a为参数).某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a＝e.若x＝1表示该新产品今年的年产量，估计明年(x＝2)的产量将是今年的e倍，那么b的值为(e为自然数对数的底数)(　　) A． B． C．－1 D．＋1 A　解析：由a＝e，得到f(x)＝keb－x，∴当x＝1时，f(1)＝keb－1；当x＝2时，f(2)＝keb－2.依题意，明年(x＝2)的产量将是今年的e倍，得＝eb－2－b－1＝e，∴－＝1，即b2＋b－1＝0，解得b＝.∵b>0，∴b＝. 8．(2024·榆林模拟)“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1＋1%)365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1－1%)365＝0.99365，一年后“进步”的是“退步”的＝()365≈1 481倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．10天 B．11天 C．12天 D．13天 C　解析：设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则()x≥100，∴x≥log100＝＝≈≈11.36(天).故最少要经过12天． 二、多选题 9．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(　　) A．－＝(－x) B．＝y3(y<0) C．x＝(x≠0) D．[]＝x(x>0) CD　解析：对于A，－＝－x≠(－x)，错误；对于B，＝(y2)＝－y≠y3(y<0)，错误；对于C，x＝(x≠0)，正确；对于D，[]＝{[(－x)2]}＝[(－x)2]＝x(x>0)，正确． 10．(2025·宣城期末)下列运算中正确的是(　　) A．＝log75 B．()＝ C．＝3－π D．()＋ln (ln e)＝6 BD　解析：对于A，＝log57，故A错误；对于B，()＝()＝，故B正确；对于C，＝|3－π|＝π－3，故C错误；对于D，()＋ln (ln e)＝2＋ln 1＝6＋0＝6，故D正确． 11．(2025·衡阳模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在14 ℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是(　　) 参考数据：2.85≈172，2.76≈387 A．b∈(5，6) B．若该食品储藏温度是21 ℃，则它的保鲜时间是16小时 C．k<0 D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7 ℃ ACD　解析：在函数y＝ekx＋b中，当x＝0时，eb＝192，由2.85≈172，2.76≈387知，b∈(5，6)，故A正确；当x＝14时，e14k＋b＝48，所以e14k＝＝，则e7k＝，当x＝21时，e21k＋b＝(e7k)3·eb＝()3×192＝24，故B错误；由e7k＝，得k＝ln <0，故C正确；由y≥96，得96≤ekx·eb＝192()，所以x≤7，故D正确． 三、填空题 12．(2024·内蒙古三模)若log23x＝1，则9－x＝________. 答案：　解析：由log23x＝1，可得3x＝2，则9－x＝3－2x＝(3x)－2＝2－2＝. 13．已知5a＝8，4b＝5，则ab＝________. 答案：　解析：因为5a＝8，4b＝5，因此有(4b)a＝8，即22ab＝23，即2ab＝3，所以ab＝. 14．若正数a，b满足1＋loga＝2＋logb＝log(a－b)，则－＝________. 答案：－3　解析：令1＋loga＝2＋logb＝log(a－b)＝k，则a＝()k－1，b＝()k－2，a－b＝()k，所以－＝＝＝＝－3. 15．(2024·重庆模拟)物理学家本福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的(　　)倍．(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 C　解析：由题意，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb，可得P10(1)＝lg 2，P10(9)＝lg ＝lg 10－lg 9＝1－2lg 3，所以＝≈6.5. 16．桥梁由于自身结构的优势占地要比路基工程少，所以在平原区的高铁设计中大量采用桥梁代替普速铁路中常见的路基工程．在低桩承台对称竖直桩桩基基础刚度计算及有限元模拟中常用到三个公式Fc＝，Sc＝，Ic＝，其中Fc，Sc，Ic——分别为承台地面以上水平方向地基系数c的图形面积和对底面的面积矩和惯性矩；cc——承台底面处水平土的地基系数；hc——承台底面埋入地面或局部冲刷下的深度．在设计某一桥梁时，已知Ic＝2.0×108，cc＝300，则Sc＝(　　) A．3.8×108 B．2.4×106 C．2.0×106 D．1.2×108 C　解析：根据题意得，2.0×108＝，解得hc＝200，Sc＝＝2.0×106. 17．(2025·漯河模拟)已知2a＝32，loga2·log4x＝a，求log5x＋logx5的值． 解：因为2a＝32＝25，所以a＝5，所以loga2·log4x＝log52·log22x＝log52·log2x＝××＝log5x＝×5，即log5x＝4，所以x＝54，所以log5x＋logx5＝log554＋log545＝4＋＝. 18．因为运算，数的威力是无限的，没有运算，数就只能成为一个符号．把一些已知量进行组合，通过数学运算可以获得新的量，从而解决一些新的问题． (1)对数运算与指数运算是两类重要的数学运算，请你根据对数定义推导对数的一个运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，n∈R，那么logaMn＝nlogaM； (2)请你运用上述对数运算性质，计算×(＋)的值； (3)对数的运算性质降低了数学运算的级别，简化了数学运算，是数学史上的伟大成就．例如，因为210＝1 024∈(103，104)，所以210是一个4位数，我们取lg 2≈0.301 0，请你运用上述对数运算性质，判断250的位数是多少？ 解：(1)设M＝ax，则Mn＝anx. 根据对数定义有logaM＝x，logaMn＝nx，因此logaMn＝nlogaM. (2)由logaMn＝nlogaM， 可得×(＋)＝×(＋)＝×(＋) ＝×＋×＝＋＝. (3)设250的位数为k，k∈N*，则10k－1≤250≤10k， 所以lg 10k－1≤lg 250≤lg 10k，即k－1≤50lg 2≤k. 因为lg 2≈0.301 0，所以50lg 2≈15.05. 由k－1≤15.05≤k得15.05≤k≤16.05. 因为k∈N*，所以k＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $$