课时训练(14)幂函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(14)　幂函数 一、单选题 1．(2024·日照二模)已知幂函数图象过点(2，4)，则函数的解析式为(　　) A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝log2x D．y＝sin x B　解析：设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数过点(2，4)，故4＝2α，解得α＝2，该幂函数的解析式为y＝x2. 2．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·x在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 B　解析：由题意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8>0，解得m＝1. 3．已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为(　　) A． B． C．－ D．－ C　解析：由幂函数y＝xα的图象关于y轴对称知，函数y＝xα是偶函数，排除B，D选项；再根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内单调递减，可得α＜0，排除A选项．故选C． 4．(2025·保定模拟)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b A　解析：由题意得b＝3＜4＝2＝a，a＝2＝4＜4＜5＝25＝c，所以b＜a＜c. 5．(2025·合肥模拟)若0<x1<x2，则下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝中，满足条件f()≤(0<x1<x2)的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　解析：若满足条件f()≤(0<x1<x2)，则函数图象在y轴右侧为一条直线或下凸曲线，根据函数图象易得④f(x)＝不满足，其余都满足． 二、多选题 6．已知函数g(x)＝ax－2－(a＞0且a≠1)的图象过定点A，幂函数 f(x)＝xb的图象经过点A，则(　　) A．f(x)在其定义域内是减函数 B．f(x)的图象经过点(1，1) C．f(x)是奇函数 D．f(x)的定义域是R BC　解析：由x－2＝0，得x＝2，可得g(2)＝1－＝，故函数g(x)＝ax－2－(a＞0且a≠1)的图象过定点A(2，)，则f(2)＝2b＝，解得b＝－1，则f(x)＝，所以f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(x)为奇函数，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，但f(x)在其定义域内不单调．因为f(1)＝1，所以函数f(x)的图象经过点(1，1).故选BC． 7．已知幂函数f(x)＝(m＋)xm，则(　　) A．f(－32)＝ B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3] ACD　解析：因为函数f(x)是幂函数，所以m＋＝1，得m＝－，即f(x)＝x，f(－32)＝[(－2)5]＝(－2)－4＝，故A正确；函数的定义域是{x|x≠0}，故B错误；因为定义域关于原点对称，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故C正确；易知函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不等式f(x－1)≥f(2)等价于|x－1|≤2，解得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，解得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1，1)∪(1，3]，故D正确． 三、填空题 8．幂函数y＝xn2＋n＋1(n∈N)的图象一定经过第________________象限． 答案：一、三　解析：因为n为自然数，所以n(n＋1)为偶数，则n2＋n＋1为奇数，所以y＝xn2＋n＋1(n∈N)是奇函数，且函数的图象经过点(0，0)和点(1，1)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以幂函数y＝xn2＋n＋1(n∈N)的图象一定经过第一、三象限． 9．(2025·南京模拟)幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2，请写出符合上述条件的一个函数f(x)＝________. 答案：x(答案不唯一)　解析：取f(x)＝x，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)＝x＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2＝，满足f(－1)<f(2)<2. 四、解答题 10．已知幂函数f(x)＝x(m为正整数)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是严格减函数，求满足(a＋1)＞(3－2a)的实数a的取值范围． 解：因为函数f(x)在(0，＋∞)上是严格减函数，所以m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. 由m为正整数，则m＝1或m＝2. 又函数f(x)的图象关于y轴对称，得f(x)是偶函数， 而当m＝2时，22－2×2－3＝－3，f(x)＝x－3为奇函数，不符合题意； 当m＝1时，12－2×1－3＝－4，f(x)＝x－4为偶函数，于是m＝1. 因为y＝x为奇函数，在(－∞，0)与(0，＋∞)上均为严格减函数， 所以(a＋1)＞(3－2a)等价于a＋1＜3－2a＜0或3－2a＞a＋1＞0或a＋1＞0＞3－2a， 解得－1＜a＜或a＞， 即a∈(－1，)∪(，＋∞). 11．已知幂函数y＝x(p，q∈N*，q＞1且p，q互质)的图象如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且＞1 B．q为偶数，p为奇数，且＞1 C．q为奇数，p为偶数，且＞1 D．q为奇数，p为偶数，且0＜＜1 D　解析：由幂函数y＝x的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数．因为幂函数y＝x的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜＜1. 12．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的有(　　) A．x1f(x1)＞x2 f(x2) B．x1 f(x2)＜x2 f(x1) C．＞ D．＜ BC　解析：设幂函数为f(x)＝xα，则有()α＝2－3α＝＝2，解得α＝，所以f(x)＝(x≥0).由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x增大而减小，即＜，即x1f(x2)＜x2f(x1)，所以B，C正确． 13．已知函数f(x)＝(m2－m－5)x是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 A　解析：∵函数f(x)＝(m2－m－5)x是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴m2－6＞0，∴m＝3，∴f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b＞0，则a＞－b，又函数f(x)＝x3为奇函数且在R上单调递增，∴f(a)＞f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故选A． 14．若f(x)＝x，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是________. 答案：[2，)　解析：因为f(x)＝x在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)，所以即2≤x＜， 所以不等式的解集为[2，). 15．若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上． (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间． 解：(1)设f(x)＝xα， 因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上， 所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ， 因为点(2，)在幂函数g(x)的图象上， 所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图中实线部分所示． 由题意及图象，可知h(x)＝ 根据函数h(x)的解析式及图象，可知函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$